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calcula este ejercicio por Integrales inmediatas, Integrales racionales, Integrales por partes, Integrales por sustitución.

Para resolver la integral de línea compleja dada:

\[
\int_\gamma z \exp(2 \pi i z^2) \, dz
\]

donde \(\gamma : [0, 1] \rightarrow \mathbb{C}\) está definida por \(\gamma(t) = t^3 + it\), procederemos por sustitución. Aquí están los pasos detallados:

1. **Parametrización de la curva \(\gamma\)**:

   Dada la curva \(\gamma(t) = t^3 + it\), calculamos \(\frac{dz}{dt}\):

   \[
   \frac{dz}{dt} = \frac{d}{dt} (t^3 + it) = 3t^2 + i
   \]

   Entonces, podemos reescribir la integral en términos de \(t\):

   \[
   \int_0^1 \gamma(t) \exp\left(2 \pi i (\gamma(t))^2\right) \frac{dz}{dt} \, dt
   \]

   Sustituyendo \(\gamma(t)\) y \(\frac{dz}{dt}\):

   \[
   \int_0^1 (t^3 + it) \exp\left(2 \pi i (t^3 + it)^2\right) (3t^2 + i) \, dt
   \]

2. **Simplificación del exponente**:

   Primero, calculamos \((t^3 + it)^2\):

   \[
   (t^3 + it)^2 = t^6 + 2it^4 - t^2
   \]

   Entonces:

   \[
   \exp\left(2 \pi i (t^6 + 2it^4 - t^2)\right) = \exp\left(2 \pi i t^6 + 4\pi t^4 - 2\pi i t^2\right)
   \]

   Separando la parte real e imaginaria:

   \[
   \exp\left(2 \pi i t^6 + 4\pi t^4 - 2\pi i t^2\right) = \exp(4\pi t^4) \cdot \exp\left(i(2\pi t^6 - 2\pi t^2)\right)
   \]

3. **Sustituyendo en la integral**:

   \[
   \int_0^1 (t^3 + it) \exp(4\pi t^4) \exp\left(i(2\pi t^6 - 2\pi t^2)\right) (3t^2 + i) \, dt
   \]

4. **Expandiendo y separando términos**:

   La integral se vuelve una combinación de integrales de funciones exponenciales y trigonométricas complejas:

   \[
   \int_0^1 (t^3 \cdot 3t^2 + t^3 \cdot i + it \cdot 3t^2 + it \cdot i) \exp(4\pi t^4) \exp\left(i(2\pi t^6 - 2\pi t^2)\right) \, dt
   \]

   Simplificamos cada término y evaluamos las integrales resultantes:

   \[
   \int_0^1 (3t^5 + it^3 + 3it^3 - t) \exp(4\pi t^4) \exp\left(i(2\pi t^6 - 2\pi t^2)\right) \, dt
   \]

5. **Evaluación de las integrales individuales**:

   Separando la integral en partes:

   \[
   \int_0^1 3t^5 \exp(4\pi t^4) \exp\left(i(2\pi t^6 - 2\pi t^2)\right) \, dt + \int_0^1 4it^3 \exp(4\pi t^4) \exp\left(i(2\pi t^6 - 2\pi t^2)\right) \, dt - \int_0^1 t \exp(4\pi t^4) \exp\left(i(2\pi t^6 - 2\pi t^2)\right) \, dt
   \]

Cada una de estas integrales puede ser complicada de resolver analíticamente sin recurrir a métodos numéricos o técnicas avanzadas de integración en el plano complejo.

En resumen, la integral puede ser abordada usando parametrización y sustitución, y luego separando en términos individuales para una posible evaluación numérica. Las integrales inmediatas o por partes en este contexto pueden no ser directamente aplicables debido a la complejidad de las funciones involucradas.

¿Te gustaría que profundicemos en alguno de los pasos o necesitas ayuda con algún otro tipo de integral? Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se realiza una integral de línea en el plano complejo?
2. ¿Qué es una parametrización de una curva y cómo se utiliza en integrales?
3. ¿Cómo se simplifican exponenciales de números complejos?
4. ¿Qué técnicas existen para evaluar integrales de funciones complejas?
5. ¿Cuál es el método de sustitución en integrales y cuándo es útil?
6. ¿Qué son las integrales inmediatas y en qué casos se aplican?
7. ¿Cómo se realiza una integración por partes en integrales de línea complejas?
8. ¿Cuáles son los métodos numéricos para evaluar integrales complejas?

**Tip:** La parametrización de la curva es una herramienta fundamental para transformar integrales de línea en problemas más manejables mediante el cálculo de integrales en el dominio real.

Explore the solution to a complex line integral problem involving parametrization and substitution methods. This detailed guide covers integral calculus techniques such as substitution and parts, suitable for advanced college-level students.

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