Para resolver el ejercicio que se presenta, usaremos la técnica de parametrización del contorno en lugar de utilizar fórmulas de Cauchy o el teorema de residuos. El enunciado nos pide calcular la integral del tipo $\int \frac{f(z)}{g(z)} \, dz$ sobre un círculo en el sentido positivo.

Paso a Paso

1. Definir la parametrización del contorno: El contorno es un círculo con centro en $z_0$ y radio $r$, parametrizado por $z = z_0 + re^{i\theta}$, donde $\theta$ varía de 0 a $2\pi$.

2. Expresar la diferencial $dz$: Se calcula la diferencial de $z$ en términos de $\theta$ usando la derivada: $dz = \frac{d}{d\theta}(z_0 + re^{i\theta}) d\theta = ire^{i\theta} d\theta$

3. Sustituir en la integral: La integral se transforma en: $\int \frac{f(z)}{g(z)} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{f(z_0 + re^{i\theta})}{g(z_0 + re^{i\theta})} ire^{i\theta} d\theta$

4. Calcular la integral: Se evalúa la integral resultante. Este paso puede involucrar simplificar la expresión y, si es posible, evaluar la integral analíticamente o numéricamente.

Ejemplo con $f(z) = 1$ y $g(z) = z - z_0$:

Como ejemplo, si $f(z) = 1$ y $g(z) = z - z_0$, entonces:

$\int \frac{1}{z - z_0} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{re^{i\theta}} ire^{i\theta} d\theta$

Esto se simplifica a:

$\int_{0}^{2\pi} \frac{i}{r} d\theta$

La integral se evalúa fácilmente como:

$\frac{i}{r} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{i}{r} \cdot 2\pi = \frac{2\pi i}{r}$

Conclusión

El resultado de la integral depende de las funciones específicas $f(z)$ y $g(z)$ que se elijan. En el ejemplo presentado, la integral se resuelve de forma sencilla debido a la elección de funciones.

¿Necesitas más detalles o tienes alguna otra pregunta?

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Consejo

Para dominar la integración en el plano complejo, es útil practicar con diferentes funciones y contornos, y entender cómo los teoremas fundamentales de análisis complejo se aplican en cada caso.