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Para la materia de Homotopía, calcula el ejercicio mostrando paso a paso como se resolvió pero No puedes usar Fórmulas de Cauchy ni Teorema de Residuos, pero puedes usar Integración por cambio de variable.

Para resolver el ejercicio que se presenta, usaremos la técnica de parametrización del contorno en lugar de utilizar fórmulas de Cauchy o el teorema de residuos. El enunciado nos pide calcular la integral del tipo \(\int \frac{f(z)}{g(z)} \, dz\) sobre un círculo en el sentido positivo.

### Paso a Paso

1. **Definir la parametrización del contorno**:
   El contorno es un círculo con centro en \(z_0\) y radio \(r\), parametrizado por \(z = z_0 + re^{i\theta}\), donde \(\theta\) varía de 0 a \(2\pi\).

2. **Expresar la diferencial \(dz\)**:
   Se calcula la diferencial de \(z\) en términos de \(\theta\) usando la derivada:
   \[
   dz = \frac{d}{d\theta}(z_0 + re^{i\theta}) d\theta = ire^{i\theta} d\theta
   \]

3. **Sustituir en la integral**:
   La integral se transforma en:
   \[
   \int \frac{f(z)}{g(z)} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{f(z_0 + re^{i\theta})}{g(z_0 + re^{i\theta})} ire^{i\theta} d\theta
   \]

4. **Calcular la integral**:
   Se evalúa la integral resultante. Este paso puede involucrar simplificar la expresión y, si es posible, evaluar la integral analíticamente o numéricamente.

### Ejemplo con \(f(z) = 1\) y \(g(z) = z - z_0\):

Como ejemplo, si \(f(z) = 1\) y \(g(z) = z - z_0\), entonces:

\[
\int \frac{1}{z - z_0} dz = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{re^{i\theta}} ire^{i\theta} d\theta
\]

Esto se simplifica a:

\[
\int_{0}^{2\pi} \frac{i}{r} d\theta
\]

La integral se evalúa fácilmente como:

\[
\frac{i}{r} \int_{0}^{2\pi} d\theta = \frac{i}{r} \cdot 2\pi = \frac{2\pi i}{r}
\]

### Conclusión
El resultado de la integral depende de las funciones específicas \(f(z)\) y \(g(z)\) que se elijan. En el ejemplo presentado, la integral se resuelve de forma sencilla debido a la elección de funciones. 

¿Necesitas más detalles o tienes alguna otra pregunta?

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### Preguntas Relacionadas

1. ¿Cómo se parametriza un contorno distinto al círculo?
2. ¿Qué métodos se pueden usar para calcular integrales complejas sin usar el teorema de residuos?
3. ¿Cómo afecta el radio del círculo a la integral calculada?
4. ¿Qué sucede si el contorno no es una curva cerrada?
5. ¿Cómo se calcula la integral de una función multivaluada?
6. ¿Qué métodos alternativos existen para evaluar integrales complejas?
7. ¿Cómo se maneja una singularidad dentro del contorno?
8. ¿Qué pasa si la función \(f(z)\) no es holomorfa en todo el contorno?

### Consejo
Para dominar la integración en el plano complejo, es útil practicar con diferentes funciones y contornos, y entender cómo los teoremas fundamentales de análisis complejo se aplican en cada caso.

Learn how to calculate a complex integral using contour parametrization instead of Cauchy's formulas or the residue theorem. This detailed guide covers parametrization techniques, differential expressions, and evaluating integrals over circular contours. Suitable for college-level students studying complex analysis.

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