Utilice el metodo de sustitucion para resolver el analisis de recurrencia de T (n) = k + n^(2) + 5 T ( n/3 ) siendo T (1) = k

Vamos a resolver la recurrencia \( T(n) = k + n^2 + 5T\left(\frac{n}{3}\right) \) utilizando el **método de sustitución**. Sabemos que \( T(1) = k \).

### Paso 1: Suponer una solución tentativa
El primer paso es intentar suponer una forma para la solución de \( T(n) \). Como el término \( n^2 \) sugiere un comportamiento cuadrático, proponemos que la solución esté en la forma \( T(n) = O(n^2) \). Sin embargo, para confirmar esto, procederemos con la sustitución.

### Paso 2: Desarrollar la recurrencia
Sustituyendo repetidamente la expresión para \( T(n) \):

1. Para el primer nivel de sustitución:
   \[
   T(n) = k + n^2 + 5T\left(\frac{n}{3}\right)
   \]

2. En el segundo nivel de sustitución:
   \[
   T\left(\frac{n}{3}\right) = k + \left(\frac{n}{3}\right)^2 + 5T\left(\frac{n}{9}\right)
   \]
   Entonces:
   \[
   T(n) = k + n^2 + 5\left(k + \left(\frac{n}{3}\right)^2 + 5T\left(\frac{n}{9}\right)\right)
   \]
   Expandiendo:
   \[
   T(n) = k + n^2 + 5k + 5\left(\frac{n^2}{9}\right) + 25T\left(\frac{n}{9}\right)
   \]

3. En el tercer nivel de sustitución:
   \[
   T\left(\frac{n}{9}\right) = k + \left(\frac{n}{9}\right)^2 + 5T\left(\frac{n}{27}\right)
   \]
   Entonces:
   \[
   T(n) = k + n^2 + 5k + 5\left(\frac{n^2}{9}\right) + 25\left(k + \left(\frac{n}{9}\right)^2 + 5T\left(\frac{n}{27}\right)\right)
   \]
   Expandiendo nuevamente:
   \[
   T(n) = k + n^2 + 5k + \frac{5n^2}{9} + 25k + \frac{25n^2}{81} + 125T\left(\frac{n}{27}\right)
   \]

### Paso 3: Generalizar el patrón
Podemos observar que en cada paso estamos multiplicando los términos de \( n^2 \) por factores decrecientes y los términos constantes por potencias de 5. En general, después de \( j \) sustituciones, el patrón será:

\[
T(n) = k \left(1 + 5 + 25 + \cdots + 5^j\right) + n^2 \left(1 + \frac{5}{9} + \frac{25}{81} + \cdots \right) + 5^{j+1}T\left(\frac{n}{3^{j+1}}\right)
\]

### Paso 4: Calcular la suma geométrica
Los términos constantes forman una serie geométrica:

\[
S_{\text{const}} = k \left(1 + 5 + 25 + \cdots + 5^j\right) = k \frac{5^{j+1} - 1}{5 - 1} = k \frac{5^{j+1} - 1}{4}
\]

Para el término \( n^2 \), también tenemos una serie geométrica:

\[
S_{n^2} = n^2 \left(1 + \frac{5}{9} + \frac{25}{81} + \cdots\right)
\]
que converge a una suma finita dado que \( \frac{5}{9} < 1 \). La suma infinita de esta serie es:

\[
S_{n^2} = n^2 \frac{1}{1 - \frac{5}{9}} = n^2 \frac{9}{4}
\]

### Paso 5: Comportamiento asintótico
Cuando \( j \) tiende a infinito, el término \( T\left(\frac{n}{3^{j+1}}\right) \) se evalúa en \( T(1) = k \), lo que significa que el término final será pequeño a medida que \( j \) crece.

Por lo tanto, el comportamiento asintótico de \( T(n) \) será dominado por el término \( n^2 \), lo que nos da:

\[
T(n) = O(n^2)
\]

### Conclusión:
La solución a la recurrencia \( T(n) = k + n^2 + 5T\left(\frac{n}{3}\right) \) es \( T(n) = O(n^2) \).

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el término constante \( k \) al comportamiento de la solución?
2. ¿Cuál es el impacto de cambiar el coeficiente 5 en la recurrencia?
3. ¿Cómo se comportaría la solución si \( n^2 \) fuera sustituido por \( n^3 \)?
4. ¿Qué pasaría si la recurrencia tuviera una función \( T(n/2) \) en lugar de \( T(n/3) \)?
5. ¿Es posible resolver esta recurrencia mediante el método de árboles de recurrencia?

### Tip:
El método de sustitución es una técnica muy útil para conjeturar soluciones de recurrencias, pero debe complementarse con una prueba inductiva para garantizar su validez.

Aprende a resolver la recurrencia T(n) = k + n^2 + 5T(n/3) utilizando el método de sustitución, con un enfoque en análisis asintótico y series geométricas. Ideal para estudiantes de ciencias de la computación en nivel universitario.

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