Для нахождения координат проекции точки $A$ на прямую, проходящую через точки $B$ и $C$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем направляющий вектор прямой $\vec{BC}$:

$\vec{BC} = C - B = (-2 - 2, 1 - (-1), 4 - 3) = (-4, 2, 1).$

2. Зададим параметрическое уравнение прямой:

Точка $B$ и направляющий вектор $\vec{BC}$ определяют прямую: $\vec{r}(t) = \vec{B} + t \cdot \vec{BC} = (2, -1, 3) + t \cdot (-4, 2, 1).$

3. Выразим вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = A - B = (11 - 2, -4 - (-1), 3 - 3) = (9, -3, 0).$

4. Проекция вектора $\vec{AB}$ на $\vec{BC}$:

Проекция одного вектора на другой определяется формулой: $\text{Proj}_{\vec{BC}} \vec{AB} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{\|\vec{BC}\|^2} \cdot \vec{BC}.$

4.1. Скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = 9 \cdot (-4) + (-3) \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -36 - 6 + 0 = -42.$

4.2. Квадрат длины $\vec{BC}$:

$\|\vec{BC}\|^2 = (-4)^2 + 2^2 + 1^2 = 16 + 4 + 1 = 21.$

4.3. Проекция:

$\text{Proj}_{\vec{BC}} \vec{AB} = \frac{-42}{21} \cdot (-4, 2, 1) = -2 \cdot (-4, 2, 1) = (8, -4, -2).$

5. Найдем координаты проекции точки $A$:

Координаты проекции точки $A$ равны координатам $B$ плюс проекция $\vec{AB}$ на $\vec{BC}$: $\text{Проекция } A = B + \text{Proj}_{\vec{BC}} \vec{AB} = (2, -1, 3) + (8, -4, -2).$ $\text{Проекция } A = (2 + 8, -1 - 4, 3 - 2) = (10, -5, 1).$

Ответ:

Координаты проекции точки $A$ на прямую $BC$: $(10, -5, 1).$

---

Есть ли вопросы или хотите разобрать решение детальнее?

5 связанных вопросов:

1. Как найти расстояние от точки до прямой в пространстве?
2. Что такое скалярное произведение векторов, и как оно используется в задачах проекции?
3. Как найти координаты середины отрезка в пространстве?
4. Каковы свойства векторов, лежащих на одной прямой?
5. Чем отличаются проекции вектора на прямую и на плоскость?

Совет: Всегда проверяйте, что направляющий вектор прямой не равен нулю, иначе прямая не определена.