Давайте начнем с вычисления векторов, используя данные координаты векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$.

1. Вектор $\mathbf{a}$: $\mathbf{a} = (1, -4, 21)$

2. Вектор $\mathbf{b}$: $\mathbf{b} = (1, -5, 0)$

Теперь найдем:

Вектор $\mathbf{c} = 3\mathbf{a}$

$\mathbf{c} = 3(1, -4, 21) = (3 \cdot 1, 3 \cdot -4, 3 \cdot 21) = (3, -12, 63)$

Вектор $\mathbf{d} = 2\mathbf{a} + 4\mathbf{b}$

Сначала найдем $2\mathbf{a}$ и $4\mathbf{b}$:

$2\mathbf{a} = 2(1, -4, 21) = (2, -8, 42)$ $4\mathbf{b} = 4(1, -5, 0) = (4, -20, 0)$

Теперь сложим эти два вектора: $\mathbf{d} = (2, -8, 42) + (4, -20, 0) = (2 + 4, -8 - 20, 42 + 0) = (6, -28, 42)$

Вектор $\mathbf{e} = 9\mathbf{b} - 2\mathbf{d} + \mathbf{c}$

Сначала найдем $9\mathbf{b}$ и $-2\mathbf{d}$:

$9\mathbf{b} = 9(1, -5, 0) = (9, -45, 0)$ $-2\mathbf{d} = -2(6, -28, 42) = (-12, 56, -84)$

Теперь сложим $9\mathbf{b}$, $-2\mathbf{d}$ и $\mathbf{c}$: $\mathbf{e} = (9, -45, 0) + (-12, 56, -84) + (3, -12, 63)$

Сначала сложим $9\mathbf{b}$ и $-2\mathbf{d}$: $(9 - 12, -45 + 56, 0 - 84) = (-3, 11, -84)$

Теперь добавим $\mathbf{c}$: $\mathbf{e} = (-3, 11, -84) + (3, -12, 63) = (0, -1, -21)$

Итоговые результаты:

1. $\mathbf{c} = (3, -12, 63)$
2. $\mathbf{d} = (6, -28, 42)$
3. $\mathbf{e} = (0, -1, -21)$

Если у вас есть вопросы или вам нужны дополнительные детали, дайте знать! Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

1. Какова геометрическая интерпретация векторов $\mathbf{a}$ и $\mathbf{b}$?
2. Как можно визуализировать векторы $\mathbf{c}$, $\mathbf{d}$ и $\mathbf{e}$?
3. Каковы свойства операций с векторами, которые мы использовали?
4. Как изменение координат вектора $\mathbf{a}$ повлияет на векторы $\mathbf{c}$, $\mathbf{d}$ и $\mathbf{e}$?
5. Какова разница между линейной комбинацией векторов и векторной суммой?

Совет: Всегда проверяйте результаты, подставляя их обратно в исходные уравнения.