Для нахождения координат проекции точки $A$ на прямую, проходящую через точки $B$ и $C$, нужно следовать такому алгоритму:

Шаг 1: Найти вектор направления прямой

Вектор направления прямой, проходящей через точки $B$ и $C$, равен: $\vec{v} = \overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 2, 4 - 3, 0 - (-1)) = (-4, 1, 1).$

Шаг 2: Составить вектор от точки $B$ до $A$

$\vec{BA} = A - B = (7 - 2, 3 - 3, 1 - (-1)) = (5, 0, 2).$

Шаг 3: Найти скалярное произведение векторов $\vec{BA}$ и $\vec{v}$

$\vec{BA} \cdot \vec{v} = 5 \cdot (-4) + 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = -20 + 0 + 2 = -18.$

Шаг 4: Найти квадрат длины вектора $\vec{v}$

$|\vec{v}|^2 = (-4)^2 + 1^2 + 1^2 = 16 + 1 + 1 = 18.$

Шаг 5: Выразить проекцию точки $A$ на прямую

Координаты проекции точки $A$ находятся по формуле: $P = B + \frac{\vec{BA} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \cdot \vec{v}.$

Подставим значения: $P = (2, 3, -1) + \frac{-18}{18} \cdot (-4, 1, 1) = (2, 3, -1) - (4, -1, -1).$

$P = (2 - 4, 3 + 1, -1 - 1) = (-2, 4, -2).$

Ответ:

Координаты проекции точки $A$ на прямую: $P = (-2, 4, -2).$

Если хотите, могу объяснить этот процесс детально или помочь с другими задачами.

Связанные вопросы:

1. Как определить расстояние от точки до прямой в пространстве?
2. Что такое скалярное произведение и как оно используется в геометрии?
3. Каковы свойства вектора направления прямой в пространстве?
4. Как найти угол между прямой и вектором?
5. Какая роль скалярного произведения в проекциях?

Совет:

При вычислении проекций точек на прямую всегда проверяйте вектор направления — он задает ключевую геометрию прямой.