Для того чтобы решить задачу, давайте последовательно определим координаты вектора $\mathbf{a} = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{CD}$, и затем проверим, являются ли векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ коллинеарными.

1. Определение координат вектора $\overrightarrow{AB}$

Вектор $\overrightarrow{AB}$ можно найти как разность координат точки $B$ и точки $A$: $\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$ Подставляем координаты точек: $A(-6; 1; 0), \quad B(4; 2; 1)$ $\overrightarrow{AB} = (4 - (-6), 2 - 1, 1 - 0) = (10, 1, 1)$

2. Определение координат вектора $\overrightarrow{CD}$

Теперь найдём вектор $\overrightarrow{CD}$ как разность координат точки $D$ и точки $C$: $\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C, y_D - y_C, z_D - z_C)$ Подставляем координаты точек: $C(3; -5; 1), \quad D(2; 4; 2)$ $\overrightarrow{CD} = (2 - 3, 4 - (-5), 2 - 1) = (-1, 9, 1)$

3. Вычисление вектора $\mathbf{a} = \overrightarrow{AB} - 3\overrightarrow{CD}$

Теперь, зная $\overrightarrow{AB} = (10, 1, 1)$ и $\overrightarrow{CD} = (-1, 9, 1)$, мы можем вычислить вектор $\mathbf{a}$. Для этого умножим вектор $\overrightarrow{CD}$ на 3 и затем вычтем его из вектора $\overrightarrow{AB}$: $\mathbf{a} = (10, 1, 1) - 3 \cdot (-1, 9, 1)$ Вектор $3 \cdot \overrightarrow{CD} = (3, -27, -3)$, поэтому: $\mathbf{a} = (10, 1, 1) - (3, -27, -3) = (10 - 3, 1 - (-27), 1 - (-3)) = (7, 28, 4)$

4. Проверка коллинеарности векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$

Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным кратным другого, то есть если существует скаляр $k$, такой что: $\overrightarrow{AB} = k \cdot \overrightarrow{CD}$ Для этого проверим, равны ли отношения соответствующих координат: $\frac{10}{-1} = -10, \quad \frac{1}{9} \approx 0.111, \quad \frac{1}{1} = 1$ Так как эти отношения разные, векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ не являются коллинеарными.

Ответ:

• Координаты вектора $\mathbf{a} = (7, 28, 4)$.
• Векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$ не являются коллинеарными.

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите подробности по решению, не стесняйтесь спрашивать.

Дополнительные вопросы:

1. Как найти угол между двумя векторами, используя их координаты?
2. Как вычислить скалярное произведение двух векторов?
3. В чем заключается геометрическое значение векторного произведения двух векторов?
4. Как найти координаты вектора, если даны две точки, через которые он проходит?
5. Какие еще способы проверки коллинеарности существуют?

Совет: Для вычисления расстояния между двумя точками в 3D пространстве используйте формулу: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$