Для нахождения координат проекции точки $A(11, 12, -8)$ на прямую, проходящую через точки $B(4, 3, -3)$ и $C(7, 7, -2)$, воспользуемся следующим пошаговым алгоритмом:

---

1. Направляющий вектор прямой:

Вектор $\vec{BC}$, задающий направление прямой, определяется как разность координат точек $C$ и $B$:
$\vec{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (7 - 4, 7 - 3, -2 - (-3)) = (3, 4, 1).$

---

2. Уравнение прямой через $B$ вдоль $\vec{BC}$:

Прямая задается параметрически:
$(x, y, z) = (4, 3, -3) + t(3, 4, 1),$ где $t$ — параметр.

---

3. Формула проекции точки на прямую:

Координаты проекции $P(x_P, y_P, z_P)$ точки $A(x_A, y_A, z_A)$ на прямую находятся по формуле:
$P = B + \frac{(A - B) \cdot \vec{BC}}{\vec{BC} \cdot \vec{BC}} \vec{BC}.$

---

4. Вычисление $A - B$ и скалярных произведений:

1. $\vec{AB} = A - B = (11 - 4, 12 - 3, -8 - (-3)) = (7, 9, -5).$
2. Скалярное произведение $(A - B) \cdot \vec{BC}$:
   $(A - B) \cdot \vec{BC} = 7 \cdot 3 + 9 \cdot 4 + (-5) \cdot 1 = 21 + 36 - 5 = 52.$
3. Скалярное произведение $\vec{BC} \cdot \vec{BC}$:
   $\vec{BC} \cdot \vec{BC} = 3 \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 1 \cdot 1 = 9 + 16 + 1 = 26.$

---

5. Подставление в формулу проекции:

Проекция $P$:
$P = B + \frac{(A - B) \cdot \vec{BC}}{\vec{BC} \cdot \vec{BC}} \vec{BC}.$
Подставляем значения:
$P = (4, 3, -3) + \frac{52}{26}(3, 4, 1).$
$P = (4, 3, -3) + 2(3, 4, 1).$
$P = (4 + 6, 3 + 8, -3 + 2) = (10, 11, -1).$

---

Ответ:

Координаты проекции точки $A$ на прямую:
$P(10, 11, -1).$

---

Хотите ли вы подробное объяснение каких-либо этапов?

Вот 5 дополнительных вопросов, связанных с данной задачей:

1. Как найти проекцию точки на плоскость?
2. Как вычислить расстояние от точки до прямой?
3. Как найти уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки?
4. Что такое направляющий вектор прямой и как его использовать?
5. Как использовать скалярное произведение в задачах на проекции?

Совет: Убедитесь, что направляющий вектор нормализован, если требуется получить нормированную проекцию или единичный вектор.