В шар радиуса R случайным образом бросают N точек (они «равномерно» распределены по объему шара). Найти вероятность следующего события: «Ближайшая к центру шара точка находится на расстоянии не менее Х от центра»

N = 10 ; R = 46 ; X = 15

Давайте решим задачу пошагово.

### Формулировка задачи:
- У нас есть шар радиуса \( R = 46 \).
- В этот шар случайным образом бросают \( N = 10 \) точек, равномерно распределенных по объему шара.
- Необходимо найти вероятность того, что ближайшая к центру точка находится на расстоянии не менее \( X = 15 \) от центра.

### Шаг 1: Вероятность того, что одна точка будет находиться на расстоянии не менее \( X \) от центра.

Пусть \( P(d \geq X) \) — вероятность того, что точка будет находиться на расстоянии не менее \( X \) от центра. Так как точки распределены равномерно по объему шара, вероятность того, что точка окажется в определенной области объема шара, пропорциональна объему этой области.

Объем шара радиуса \( r \) вычисляется по формуле:
\[
V(r) = \frac{4}{3} \pi r^3
\]

Следовательно, вероятность того, что точка окажется на расстоянии не менее \( X \) от центра, равна отношению объема сферы радиуса \( R \) без объема сферы радиуса \( X \):
\[
P(d \geq X) = \frac{V(R) - V(X)}{V(R)} = \frac{R^3 - X^3}{R^3}
\]
Подставим значения \( R = 46 \) и \( X = 15 \):
\[
P(d \geq 15) = \frac{46^3 - 15^3}{46^3}
\]

### Шаг 2: Вероятность того, что **все** точки находятся на расстоянии не менее \( X \) от центра.

Так как каждая точка бросается независимо, вероятность того, что все \( N \) точек окажутся на расстоянии не менее \( X \), будет равна \( P(d \geq X)^N \):
\[
P(\text{все } N \text{ точек } \geq X) = \left( \frac{46^3 - 15^3}{46^3} \right)^{10}
\]

### Шаг 3: Вероятность того, что **ближайшая** точка находится на расстоянии не менее \( X \).

Теперь мы можем выразить вероятность того, что хотя бы одна точка будет находиться на расстоянии меньше \( X \) как:
\[
P(\text{ближайшая точка} \geq X) = 1 - P(\text{хотя бы одна точка } < X) = \left( \frac{46^3 - 15^3}{46^3} \right)^{10}
\]

Теперь подставим значения и посчитаем вероятность.Вероятность того, что ближайшая к центру шара точка находится на расстоянии не менее \( X = 15 \) от центра, составляет примерно \( 0.703 \) или 70.3%.

Можете уточнить, если что-то неясно, или задать дополнительные вопросы.

### Вопросы:
1. Как изменится вероятность, если увеличить число точек \( N \)?
2. Что произойдет с вероятностью, если уменьшить радиус \( R \)?
3. Как рассчитать вероятность для произвольного числа точек \( N \)?
4. Что произойдет с результатом, если точки будут распределены неравномерно?
5. Можете ли вы вычислить аналогичную вероятность для другой геометрической фигуры?

### Совет:
Для больших значений \( N \) вероятность быстро приближается к нулю, если \( X \) близко к нулю, поскольку больше точек с большей вероятностью окажутся ближе к центру.

В шар радиуса R случайным образом бросают N точек (они «равномерно» распределены по объему шара). Найти вероятность следующего события: «Ближайшая к центру шара точка находится на расстоянии не менее Х от центра». N = 10 ; R = 46 ; X = 15

Explore how to calculate the probability that the nearest point in a randomly distributed set of N=10 points inside a sphere of radius R=46 is at least X=15 units away from the center. Learn key concepts in geometric probability and uniform distribution.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation