Para derivar una función usando la regla de la cadena, es importante identificar la función exterior \( g(u) \) y la función interior \( u(x) \). La regla de la cadena establece que:

\[ \frac{d}{dx} g(u(x)) = g'(u(x)) \cdot u'(x) \]

A continuación, se presentan algunos ejemplos para ilustrar el uso de la regla de la cadena:

### Ejemplo 1:
Derivar \( f(x) = (3x^2 + 2)^5 \).

Identificamos la función exterior y la interior:
- Función exterior: \( g(u) = u^5 \)
- Función interior: \( u(x) = 3x^2 + 2 \)

Primero derivamos la función exterior respecto a \( u \):
\[ g'(u) = 5u^4 \]

Luego derivamos la función interior respecto a \( x \):
\[ u'(x) = 6x \]

Finalmente, aplicamos la regla de la cadena:
\[ f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = 5(3x^2 + 2)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 2)^4 \]

### Ejemplo 2:
Derivar \( f(x) = \sin(5x^3) \).

Identificamos la función exterior y la interior:
- Función exterior: \( g(u) = \sin(u) \)
- Función interior: \( u(x) = 5x^3 \)

Primero derivamos la función exterior respecto a \( u \):
\[ g'(u) = \cos(u) \]

Luego derivamos la función interior respecto a \( x \):
\[ u'(x) = 15x^3 \]

Finalmente, aplicamos la regla de la cadena:
\[ f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = \cos(5x^3) \cdot 15x^3 = 15x^2 \cos(5x^3) \]

### Ejemplo 3:
Derivar \( f(x) = e^{3x+4} \).

Identificamos la función exterior y la interior:
- Función exterior: \( g(u) = e^u \)
- Función interior: \( u(x) = 3x + 4 \)

Primero derivamos la función exterior respecto a \( u \):
\[ g'(u) = e^u \]

Luego derivamos la función interior respecto a \( x \):
\[ u'(x) = 3 \]

Finalmente, aplicamos la regla de la cadena:
\[ f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x) = e^{3x+4} \cdot 3 = 3e^{3x+4} \]

Si tienes una función específica que deseas derivar con la regla de la cadena, por favor proporciónala y puedo derivarla para ti.

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay 5 preguntas que podrías considerar:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones compuestas múltiples?
2. ¿Cómo se derivan funciones trigonométricas compuestas?
3. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones exponenciales y logarítmicas?
4. ¿Cómo se usan derivadas para resolver problemas de optimización?
5. ¿Cómo se encuentran derivadas de funciones implícitas?

**Tip:** Para aplicar la regla de la cadena correctamente, asegúrate de identificar claramente las funciones exterior e interior, y de derivar cada una por separado antes de combinarlas.

Learn how to derive functions using the chain rule with detailed examples like (3x^2 + 2)^5, sin(5x^3), and e^(3x+4). Understand the application of the chain rule in composite functions and trigonometric and exponential functions. Suitable for advanced high school students and calculus enthusiasts.

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