Perpustakaan SMK Budaya memiliki koleksi buku yang lengkap. Setiap buku yang ada disana tersusun rapi di rak buku. Pak Irsyad selaku petugas perpustakaan di SMK tersebut selalu menata buku-buku yang ada menyesuaikan dengan kategori masing-masing buku. Suatu hari Pak Irsyad  akan menata 9 buku baru ke rak-rak buku. Buku tersebut terdiri atas 4 buku matematika, 2 buku IPAS, dan 3 buku seni budaya. Buku-buku tersebut akan disusun dalam suatu barisan pada rak buku. Jika setiap jenis buku tidak boleh terpisah dalam barisan tersebut, banyak susunan berbeda yang dapat dibentuk adalah ...

Soal ini melibatkan konsep **permutesian dengan pengelompokan**. Karena buku-buku dengan jenis yang sama tidak boleh terpisah, kita perlu mengelompokkannya terlebih dahulu, lalu menghitung berapa banyak cara untuk menyusun kelompok-kelompok buku tersebut, dan terakhir menghitung permutasi di dalam masing-masing kelompok.

Berikut langkah-langkah penyelesaiannya:

### Langkah 1: Mengelompokkan jenis buku
Buku-buku terdiri dari:
- 4 buku Matematika
- 2 buku IPAS
- 3 buku Seni Budaya

Setiap kelompok buku harus dianggap sebagai satu kesatuan terlebih dahulu. Sehingga, ada 3 kelompok buku: Matematika, IPAS, dan Seni Budaya.

### Langkah 2: Menyusun kelompok-kelompok buku
Karena ada 3 kelompok buku yang berbeda, maka banyak cara untuk menyusun kelompok-kelompok ini adalah permutasi dari 3 objek, yaitu:

\[
P(3) = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ cara}
\]

### Langkah 3: Menyusun buku dalam tiap kelompok
Sekarang kita menghitung banyak cara untuk menyusun buku di dalam setiap kelompok:
- Buku Matematika: Ada 4 buku, sehingga banyak cara untuk menyusunnya adalah \(4!\).
\[
4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \text{ cara}
\]
- Buku IPAS: Ada 2 buku, sehingga banyak cara untuk menyusunnya adalah \(2!\).
\[
2! = 2 \times 1 = 2 \text{ cara}
\]
- Buku Seni Budaya: Ada 3 buku, sehingga banyak cara untuk menyusunnya adalah \(3!\).
\[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \text{ cara}
\]

### Langkah 4: Menghitung total susunan
Sekarang, kita kalikan semua hasil dari langkah sebelumnya untuk mendapatkan total banyak susunan berbeda. Totalnya adalah:

\[
\text{Total susunan} = 3! \times 4! \times 2! \times 3! = 6 \times 24 \times 2 \times 6
\]

Mari hitung hasilnya:

\[
6 \times 24 = 144
\]
\[
144 \times 2 = 288
\]
\[
288 \times 6 = 1728
\]

### Kesimpulan:
Banyak susunan berbeda yang dapat dibentuk adalah **1.728 susunan**.

Apakah ada yang ingin diperjelas? Atau apakah Anda memerlukan penjelasan lebih rinci?

Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait yang dapat membantu memperdalam pemahaman:
1. Bagaimana jika buku-buku dalam tiap kategori boleh bercampur?
2. Jika hanya ada dua kategori buku, bagaimana perubahan dalam total susunan?
3. Bagaimana jika ada dua buku yang identik di antara buku-buku tersebut?
4. Bagaimana konsep kombinasi berbeda dari permutasi dalam kasus seperti ini?
5. Apa perbedaan antara \(n!\) dan permutasi ketika objek-objek memiliki pengelompokan?

**Tip:** Pada masalah permutasi dengan pengelompokan, penting untuk mengidentifikasi kelompok dan permutasi internal di setiap kelompok.

Perpustakaan SMK Budaya memiliki koleksi buku yang lengkap. Setiap buku yang ada disana tersusun rapi di rak buku. Pak Irsyad selaku petugas perpustakaan di SMK tersebut selalu menata buku-buku yang ada menyesuaikan dengan kategori masing-masing buku. Suatu hari Pak Irsyad akan menata 9 buku baru ke rak-rak buku. Buku tersebut terdiri atas 4 buku matematika, 2 buku IPAS, dan 3 buku seni budaya. Buku-buku tersebut akan disusun dalam suatu barisan pada rak buku. Jika setiap jenis buku tidak boleh terpisah dalam barisan tersebut, banyak susunan berbeda yang dapat dibentuk adalah ...

Pelajari bagaimana menghitung banyaknya susunan buku di perpustakaan SMK Budaya dengan kategori yang tidak boleh terpisah. Soal ini melibatkan konsep permutasi dengan pengelompokan, menggunakan rumus factorial dan penghitungan dalam setiap kelompok. Cocok untuk siswa kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation