Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut f(x) = cos 2x - 2sin x untuk x lebih dari sama dengan 0 dan x kurang dari sama dengan 2phi

Untuk menentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi \( f(x) = \cos(2x) - 2\sin(x) \), kita perlu melalui langkah-langkah berikut:

### Langkah 1: Mencari turunan pertama \( f'(x) \)
Turunan pertama \( f'(x) \) dapat ditemukan dengan menggunakan aturan rantai pada turunan fungsi trigonometri. 

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}[\cos(2x)] - \frac{d}{dx}[2\sin(x)]
\]
\[
f'(x) = -2\sin(2x) - 2\cos(x)
\]

### Langkah 2: Menentukan titik stasioner
Titik stasioner terjadi ketika turunan pertama sama dengan nol, yaitu \( f'(x) = 0 \). Jadi, kita selesaikan persamaan:

\[
-2\sin(2x) - 2\cos(x) = 0
\]

Sederhanakan persamaan:

\[
-2(\sin(2x) + \cos(x)) = 0
\]

Bagi kedua sisi dengan -2:

\[
\sin(2x) + \cos(x) = 0
\]

Substitusi identitas trigonometri \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) \) ke dalam persamaan:

\[
2\sin(x)\cos(x) + \cos(x) = 0
\]

Faktorkan \( \cos(x) \):

\[
\cos(x)(2\sin(x) + 1) = 0
\]

Ini menghasilkan dua persamaan:

1. \( \cos(x) = 0 \)
2. \( 2\sin(x) + 1 = 0 \)

### Langkah 3: Menyelesaikan masing-masing persamaan
1. Untuk \( \cos(x) = 0 \), kita dapatkan:
   \[
   x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}
   \]
   dalam interval \( [0, 2\pi] \).

2. Untuk \( 2\sin(x) + 1 = 0 \), kita dapatkan:
   \[
   \sin(x) = -\frac{1}{2}
   \]
   Nilai \( x \) yang memenuhi \( \sin(x) = -\frac{1}{2} \) adalah:
   \[
   x = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}
   \]
   dalam interval \( [0, 2\pi] \).

### Langkah 4: Menentukan jenis titik stasioner
Untuk menentukan jenis titik stasioner (maksimum, minimum, atau titik belok), kita perlu memeriksa tanda dari turunan kedua atau melihat perubahan tanda dari turunan pertama di sekitar titik-titik stasioner.

Turunan kedua \( f''(x) \) dari fungsi adalah:

\[
f''(x) = \frac{d}{dx}[-2\sin(2x) - 2\cos(x)] = -4\cos(2x) + 2\sin(x)
\]

Dengan memeriksa tanda \( f'(x) \) dan \( f''(x) \) di sekitar titik-titik stasioner, kita dapat menentukan apakah titik tersebut maksimum lokal, minimum lokal, atau titik belok.

### Hasil:
- Titik stasioner berada di \( x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6} \).
- Jenisnya dapat ditentukan setelah memeriksa turunan kedua atau perubahan tanda dari turunan pertama di sekitar titik-titik ini.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai turunan kedua atau jenis titik stasionernya?

#### Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi di interval tertentu?
2. Apa yang dimaksud dengan identitas trigonometri dan bagaimana mereka digunakan dalam kalkulus?
3. Bagaimana cara menggunakan uji turunan kedua untuk menentukan jenis titik stasioner?
4. Mengapa nilai stasioner penting dalam analisis fungsi?
5. Apa saja aturan rantai pada turunan trigonometri?

**Tip:** Untuk analisis yang lebih rinci, uji turunan kedua sangat membantu dalam menentukan jenis nilai stasioner.

Pelajari cara menentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi f(x) = cos 2x - 2sin x dengan langkah-langkah rinci. Termasuk konsep turunan, identitas trigonometri, dan uji turunan kedua. Cocok untuk siswa kelas 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation