Tentukan selang ke monotonan dan ekstrim fungsi berikut f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6

Untuk menentukan selang ke-monotonan dan titik ekstrim fungsi \( f(x) = 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6 \), kita perlu melalui langkah-langkah sebagai berikut:

### 1. Cari turunan pertama \( f'(x) \)
Turunan pertama dari \( f(x) \) akan memberikan informasi tentang ke-monotonan fungsi (apakah fungsi meningkat atau menurun), serta titik-titik kritis yang mungkin menjadi titik ekstrim.

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6)
\]

\[
f'(x) = 10x^4 - 60x^3 + 90x^2
\]

### 2. Temukan titik kritis
Titik kritis terjadi saat turunan pertama sama dengan nol, yaitu \( f'(x) = 0 \). Kita akan menyelesaikan persamaan ini:

\[
10x^4 - 60x^3 + 90x^2 = 0
\]

Faktorkan persamaan tersebut:

\[
10x^2(x^2 - 6x + 9) = 0
\]

Faktorkan lebih lanjut:

\[
10x^2(x - 3)^2 = 0
\]

Jadi, titik kritis terjadi ketika:

\[
x^2 = 0 \quad \text{atau} \quad (x - 3)^2 = 0
\]

Maka, \( x = 0 \) dan \( x = 3 \).

### 3. Tentukan selang ke-monotonan
Sekarang kita uji tanda dari \( f'(x) \) pada interval yang ditentukan oleh titik kritis \( x = 0 \) dan \( x = 3 \).

- Untuk \( x < 0 \) (misalnya \( x = -1 \)):
  \[
  f'(-1) = 10(-1)^4 - 60(-1)^3 + 90(-1)^2 = 10 + 60 + 90 = 160
  \]
  Karena positif, fungsi meningkat pada interval \( (-\infty, 0) \).

- Untuk \( 0 < x < 3 \) (misalnya \( x = 1 \)):
  \[
  f'(1) = 10(1)^4 - 60(1)^3 + 90(1)^2 = 10 - 60 + 90 = 40
  \]
  Karena positif, fungsi meningkat pada interval \( (0, 3) \).

- Untuk \( x > 3 \) (misalnya \( x = 4 \)):
  \[
  f'(4) = 10(4)^4 - 60(4)^3 + 90(4)^2 = 10(256) - 60(64) + 90(16) = 2560 - 3840 + 1440 = 160
  \]
  Karena positif, fungsi meningkat pada interval \( (3, \infty) \).

### 4. Titik ekstrim
Dari hasil di atas, karena turunan tidak berubah tanda (selalu positif), tidak ada titik ekstrim lokal. Fungsi \( f(x) \) meningkat di semua interval.

### Kesimpulan:
- Fungsi \( f(x) = 2x^5 - 15x^4 + 30x^3 - 6 \) selalu **meningkat** pada seluruh selang \( (-\infty, \infty) \).
- Tidak ada titik maksimum atau minimum lokal (tidak ada titik ekstrim).

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan terkait langkah-langkah ini? Berikut adalah 5 soal terkait:

1. Tentukan titik kritis dan ekstrim dari fungsi \( f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 \).
2. Cari selang ke-monotonan dari fungsi \( f(x) = -2x^3 + 9x^2 - 12x + 3 \).
3. Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi \( f(x) = x^5 - 5x^3 \) di interval \( [-2, 2] \).
4. Apakah fungsi \( f(x) = x^3 - 3x \) memiliki titik ekstrim? Jika iya, tentukan jenisnya.
5. Cari nilai maksimum dan minimum dari fungsi \( f(x) = x^4 - 4x \) di interval \( [-1, 3] \).

**Tip:** Untuk memeriksa sifat ke-monotonan, selalu gunakan turunan pertama dan periksa tanda di setiap interval antara titik kritis.

Pelajari cara menentukan selang ke-monotonan dan titik ekstrim dari fungsi f(x) = 2x⁵ - 15x⁴ + 30x³ - 6. Panduan ini mencakup langkah-langkah diferensiasi, menemukan titik kritis, dan menganalisis tanda turunan pertama untuk menentukan apakah fungsi meningkat atau menurun. Cocok untuk siswa kelas 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation