Untuk membuktikan jumlah genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 adalah 5.000, kita bisa menggunakan deret aritmetika. Kita tahu bahwa pada bulan pertama, perusahaan menghasilkan 3.000 buah genteng, dan setiap bulan produksinya meningkat sebesar 500 buah.

Langkah 1: Tentukan rumus jumlah produksi

Rumus untuk deret aritmetika adalah:

$U_n = a + (n-1) \cdot b$

di mana:

• $U_n$ adalah jumlah produksi pada bulan ke-$n$,
• $a$ adalah produksi awal (bulan pertama),
• $b$ adalah selisih atau peningkatan produksi per bulan,
• $n$ adalah bulan ke-$n$.

Dari soal, kita tahu bahwa:

• $a = 3.000$,
• $b = 500$,
• $n = 5$.

Langkah 2: Hitung jumlah produksi pada bulan ke-5

Menggunakan rumus:

$U_5 = 3.000 + (5-1) \cdot 500$ $U_5 = 3.000 + 4 \cdot 500$ $U_5 = 3.000 + 2.000 = 5.000$

Jadi, jumlah produksi pada bulan ke-5 benar adalah 5.000 genteng.

Langkah 3: Tentukan jumlah total produksi sampai bulan ke-5

Jumlah total produksi hingga bulan ke-$n$ dapat dihitung menggunakan rumus jumlah deret aritmetika:

$S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1) \cdot b)$

Dengan substitusi nilai $a = 3.000$, $b = 500$, dan $n = 5$, kita hitung jumlah total produksi hingga bulan ke-5:

$S_5 = \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot 3.000 + (5-1) \cdot 500)$ $S_5 = \frac{5}{2} \cdot (6.000 + 2.000)$ $S_5 = \frac{5}{2} \cdot 8.000 = \frac{40.000}{2} = 20.000$

Jadi, total produksi genteng sampai dengan bulan ke-5 adalah 20.000 buah genteng.

Kesimpulan

1. Jumlah produksi pada bulan ke-5 adalah 5.000 buah, sesuai perhitungan.
2. Jumlah total produksi hingga bulan ke-5 adalah 20.000 buah genteng.

Apakah ada bagian yang perlu dijelaskan lebih lanjut? Berikut adalah beberapa pertanyaan terkait:

1. Bagaimana jika peningkatan produksi per bulan tidak konstan, bagaimana cara menghitung total produksinya?
2. Jika produksi bulan pertama lebih kecil dari 3.000, bagaimana pengaruhnya terhadap hasil?
3. Bagaimana cara menghitung total produksi dalam satu tahun (12 bulan)?
4. Apa yang terjadi jika $b$ bernilai negatif, apakah deret aritmetika masih berlaku?
5. Apakah ada metode lain untuk menghitung jumlah total produksi selain menggunakan deret aritmetika?

Tip: Jika Anda memiliki deret aritmetika dengan perubahan konstan, Anda bisa langsung menggunakan rumus jumlah deret untuk menghitung total tanpa perlu menghitung setiap bulan satu per satu.