Diketahui sebuah perusahaan memulai produksi dengan jumlah genteng pada bulan pertama sebanyak 3.000 buah, dan setiap bulan produksinya bertambah sebanyak 500 buah. Untuk membuktikan bahwa pada bulan ke-5 perusahaan menghasilkan 5.000 genteng dan menghitung jumlah total genteng yang dihasilkan hingga bulan ke-5, kita akan menggunakan konsep barisan aritmetika.

Tahap 1: Menyusun Rumus Umum Barisan Aritmetika

Dalam barisan aritmetika, jumlah genteng yang dihasilkan pada bulan ke-$n$ dapat dinyatakan dengan rumus: $U_n = U_1 + (n-1) \cdot b$ di mana:

• $U_n$ adalah jumlah genteng pada bulan ke-$n$,
• $U_1$ adalah jumlah genteng pada bulan pertama,
• $b$ adalah beda atau penambahan jumlah genteng per bulan,
• $n$ adalah nomor bulan.

Diketahui:

• $U_1 = 3000$ (jumlah genteng pada bulan pertama),
• $b = 500$ (penambahan genteng setiap bulan),
• $n = 5$ (bulan ke-5).

Tahap 2: Membuktikan Jumlah Genteng pada Bulan ke-5

Kita akan menghitung $U_5$ dengan rumus barisan aritmetika: $U_5 = U_1 + (5-1) \cdot b$ $U_5 = 3000 + (4) \cdot 500$ $U_5 = 3000 + 2000$ $U_5 = 5000$ Jadi, terbukti bahwa jumlah genteng yang dihasilkan pada bulan ke-5 adalah 5.000 buah.

Tahap 3: Menghitung Jumlah Total Genteng hingga Bulan ke-5

Untuk menghitung jumlah total genteng yang dihasilkan hingga bulan ke-5, kita bisa menggunakan rumus jumlah total $S_n$ dari barisan aritmetika: $S_n = \frac{n}{2} \cdot (U_1 + U_n)$ di mana:

• $S_n$ adalah jumlah total genteng hingga bulan ke-$n$,
• $U_1$ adalah jumlah genteng pada bulan pertama,
• $U_n$ adalah jumlah genteng pada bulan ke-$n$,
• $n = 5$.

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui: $S_5 = \frac{5}{2} \cdot (3000 + 5000)$ $S_5 = \frac{5}{2} \cdot 8000$ $S_5 = \frac{5 \cdot 8000}{2} = 20000$ Jadi, jumlah total genteng yang dihasilkan hingga bulan ke-5 adalah 20.000 buah.

Tahap 4: Penjelasan Rumus dalam Soal

Rumus yang diberikan dalam soal: $b = \frac{U_n - U_1}{n-1}$ Ini merupakan rumus untuk menghitung beda $b$ dalam barisan aritmetika. Jika kita substitusikan $U_n = 5000$, $U_1 = 3000$, dan $n = 5$, maka: $b = \frac{5000 - 3000}{5-1}$ $b = \frac{2000}{4} = 500$ Ini sesuai dengan nilai $b = 500$ yang sudah kita gunakan.

Kesimpulan:

1. Jumlah genteng pada bulan ke-5 adalah 5.000 buah.
2. Jumlah total genteng yang dihasilkan hingga bulan ke-5 adalah 20.000 buah.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan?

5 Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana cara menghitung jumlah total genteng hingga bulan ke-10?
2. Apa yang terjadi jika penambahan per bulan berubah menjadi 600 genteng?
3. Bagaimana cara menentukan bulan ke berapa produksi mencapai 10.000 genteng per bulan?
4. Dapatkah barisan ini dianggap sebagai barisan geometri jika beda berubah menjadi rasio tetap?
5. Bagaimana cara menghitung total produksi jika jumlah bulan yang dihitung lebih dari 12 bulan?

Tip:

Jika Anda ingin menghitung total produksi dalam barisan aritmetika, selalu periksa nilai $n$ dan beda untuk mendapatkan hasil yang tepat.