Berikut adalah contoh soal yang melibatkan penentuan domain dari fungsi komposisi ketika fungsi dan nilai sebuah fungsi lainnya diketahui:

Soal:

Diketahui dua fungsi $f(x) = \sqrt{x-2}$ dan $g(x) = \frac{1}{x-1}$. Tentukan domain dari fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ serta hitung nilai $f(g(3))$.

Penyelesaian:

1. Memahami Definisi Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ didefinisikan sebagai $f(g(x))$. Untuk menentukan domain dari $(f \circ g)(x)$, kita harus memastikan bahwa:

• Domain $g(x)$ valid, yaitu bahwa $g(x)$ didefinisikan.
• Hasil dari $g(x)$ harus berada dalam domain dari $f(x)$.

2. Menentukan Domain Fungsi $g(x)$

Fungsi $g(x) = \frac{1}{x-1}$ akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Artinya, syarat domain $g(x)$ adalah: $x - 1 \neq 0$ $x \neq 1$ Jadi, domain $g(x)$ adalah $x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty)$.

3. Menentukan Domain Fungsi $f(x)$

Fungsi $f(x) = \sqrt{x - 2}$ terdefinisi hanya jika ekspresi dalam akar non-negatif, yaitu: $x - 2 \geq 0$ $x \geq 2$ Jadi, domain $f(x)$ adalah $x \in [2, \infty)$.

4. Menentukan Domain Fungsi Komposisi $(f \circ g)(x)$

Sekarang kita perlu memastikan bahwa nilai $g(x)$ berada dalam domain $f(x)$. Ini berarti kita membutuhkan syarat: $g(x) = \frac{1}{x-1} \geq 2$ Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut: $\frac{1}{x-1} \geq 2$ Langkah-langkah: $\frac{1}{x-1} \geq 2$ $1 \geq 2(x - 1)$ $1 \geq 2x - 2$ $3 \geq 2x$ $x \leq \frac{3}{2}$

Dari sini, kita juga tahu bahwa $x \neq 1$, karena $g(x)$ tidak terdefinisi pada $x = 1$.

Jadi, domain dari fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah $x \in (-\infty, 1) \cup \left( 1, \frac{3}{2} \right]$.

5. Menghitung Nilai $f(g(3))$

Untuk menghitung $f(g(3))$, kita mulai dengan menghitung $g(3)$: $g(3) = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}$ Sekarang kita masukkan $g(3)$ ke dalam fungsi $f(x)$: $f\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{1}{2} - 2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4}{2}} = \sqrt{-\frac{3}{2}}$ Karena hasil ini berupa akar dari bilangan negatif, maka $f(g(3))$ tidak terdefinisi.

Kesimpulan:

• Domain dari fungsi komposisi $(f \circ g)(x)$ adalah $x \in (-\infty, 1) \cup \left( 1, \frac{3}{2} \right]$.
• Nilai $f(g(3))$ tidak terdefinisi karena menghasilkan akar negatif.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut adalah 5 soal yang bisa dikembangkan dari contoh ini:

1. Jika $f(x) = x^2$ dan $g(x) = \frac{1}{x+3}$, tentukan domain $(f \circ g)(x)$.
2. Diberikan $f(x) = \ln(x+1)$ dan $g(x) = x^2 - 4x + 3$, tentukan domain $(f \circ g)(x)$.
3. Hitung nilai $f(g(-2))$ jika $f(x) = 2x + 1$ dan $g(x) = x^2$.
4. Tentukan nilai $g(f(0))$ untuk $f(x) = x^2 + 1$ dan $g(x) = \sqrt{x}$.
5. Jika $f(x) = e^x$ dan $g(x) = \ln(x)$, tentukan domain $(f \circ g)(x)$.

Tip: Dalam fungsi komposisi, selalu perhatikan bahwa domain dari $g(x)$ harus sesuai dengan domain dari $f(x)$ pada hasil $g(x)$.