Buat contoh dan buat juga jalan penyelesaiannya menentukan domain sebuah jika fungsi komposisi dan nilai sebuah fungsi lainnya diketahui

Berikut adalah contoh soal yang melibatkan penentuan domain dari fungsi komposisi ketika fungsi dan nilai sebuah fungsi lainnya diketahui:

### Soal:
Diketahui dua fungsi \( f(x) = \sqrt{x-2} \) dan \( g(x) = \frac{1}{x-1} \). Tentukan domain dari fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \) serta hitung nilai \( f(g(3)) \).

### Penyelesaian:

#### 1. Memahami Definisi Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \) didefinisikan sebagai \( f(g(x)) \). Untuk menentukan domain dari \( (f \circ g)(x) \), kita harus memastikan bahwa:
- Domain \( g(x) \) valid, yaitu bahwa \( g(x) \) didefinisikan.
- Hasil dari \( g(x) \) harus berada dalam domain dari \( f(x) \).

#### 2. Menentukan Domain Fungsi \( g(x) \)

Fungsi \( g(x) = \frac{1}{x-1} \) akan terdefinisi jika penyebutnya tidak sama dengan nol. Artinya, syarat domain \( g(x) \) adalah:
\[
x - 1 \neq 0
\]
\[
x \neq 1
\]
Jadi, domain \( g(x) \) adalah \( x \in (-\infty, 1) \cup (1, \infty) \).

#### 3. Menentukan Domain Fungsi \( f(x) \)

Fungsi \( f(x) = \sqrt{x - 2} \) terdefinisi hanya jika ekspresi dalam akar non-negatif, yaitu:
\[
x - 2 \geq 0
\]
\[
x \geq 2
\]
Jadi, domain \( f(x) \) adalah \( x \in [2, \infty) \).

#### 4. Menentukan Domain Fungsi Komposisi \( (f \circ g)(x) \)

Sekarang kita perlu memastikan bahwa nilai \( g(x) \) berada dalam domain \( f(x) \). Ini berarti kita membutuhkan syarat:
\[
g(x) = \frac{1}{x-1} \geq 2
\]
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan tersebut:
\[
\frac{1}{x-1} \geq 2
\]
Langkah-langkah:
\[
\frac{1}{x-1} \geq 2
\]
\[
1 \geq 2(x - 1)
\]
\[
1 \geq 2x - 2
\]
\[
3 \geq 2x
\]
\[
x \leq \frac{3}{2}
\]

Dari sini, kita juga tahu bahwa \( x \neq 1 \), karena \( g(x) \) tidak terdefinisi pada \( x = 1 \).

Jadi, domain dari fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \) adalah \( x \in (-\infty, 1) \cup \left( 1, \frac{3}{2} \right] \).

#### 5. Menghitung Nilai \( f(g(3)) \)

Untuk menghitung \( f(g(3)) \), kita mulai dengan menghitung \( g(3) \):
\[
g(3) = \frac{1}{3-1} = \frac{1}{2}
\]
Sekarang kita masukkan \( g(3) \) ke dalam fungsi \( f(x) \):
\[
f\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{\frac{1}{2} - 2} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{4}{2}} = \sqrt{-\frac{3}{2}}
\]
Karena hasil ini berupa akar dari bilangan negatif, maka \( f(g(3)) \) tidak terdefinisi.

#### Kesimpulan:
- Domain dari fungsi komposisi \( (f \circ g)(x) \) adalah \( x \in (-\infty, 1) \cup \left( 1, \frac{3}{2} \right] \).
- Nilai \( f(g(3)) \) tidak terdefinisi karena menghasilkan akar negatif.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

Berikut adalah 5 soal yang bisa dikembangkan dari contoh ini:
1. Jika \( f(x) = x^2 \) dan \( g(x) = \frac{1}{x+3} \), tentukan domain \( (f \circ g)(x) \).
2. Diberikan \( f(x) = \ln(x+1) \) dan \( g(x) = x^2 - 4x + 3 \), tentukan domain \( (f \circ g)(x) \).
3. Hitung nilai \( f(g(-2)) \) jika \( f(x) = 2x + 1 \) dan \( g(x) = x^2 \).
4. Tentukan nilai \( g(f(0)) \) untuk \( f(x) = x^2 + 1 \) dan \( g(x) = \sqrt{x} \).
5. Jika \( f(x) = e^x \) dan \( g(x) = \ln(x) \), tentukan domain \( (f \circ g)(x) \).

**Tip:** Dalam fungsi komposisi, selalu perhatikan bahwa domain dari \( g(x) \) harus sesuai dengan domain dari \( f(x) \) pada hasil \( g(x) \).

Pelajari cara menentukan domain dari fungsi komposisi (f ∘ g)(x) dengan contoh soal yang melibatkan fungsi akar kuadrat dan fungsi rasional. Langkah-langkah penyelesaian juga mencakup penggunaan pertidaksamaan untuk memastikan hasil berada dalam domain fungsi. Cocok untuk siswa SMA (Kelas 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation