Tentukan df dan rf dari fungsi f (x) = 4 / akar x² - 9

Fungsi yang diberikan adalah:

\[
f(x) = \frac{4}{\sqrt{x^2 - 9}}
\]

### 1. **Menentukan Domain Fungsi (Df)**
Domain fungsi (Df) adalah himpunan semua nilai \(x\) yang membuat fungsi terdefinisi.

Pada fungsi ini, \( \sqrt{x^2 - 9} \) harus terdefinisi dan tidak boleh bernilai 0. Jadi, kita perlu memperhatikan dua syarat:

1. **Syarat agar radikal terdefinisi:** 
   Ekspresi dalam akar, yaitu \( x^2 - 9 \), harus lebih besar dari nol karena akar kuadrat dari bilangan negatif tidak terdefinisi dalam bilangan riil.
   \[
   x^2 - 9 > 0
   \]
   Menyelesaikan pertidaksamaan ini:
   \[
   x^2 > 9 \quad \Rightarrow \quad x > 3 \quad \text{atau} \quad x < -3
   \]

2. **Syarat agar penyebut tidak nol:** 
   Ekspresi di dalam akar tidak boleh sama dengan nol karena penyebut tidak boleh nol.
   \[
   x^2 - 9 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 \neq 9 \quad \Rightarrow \quad x \neq 3 \quad \text{dan} \quad x \neq -3
   \]

Jadi, domain fungsi adalah \( x > 3 \) atau \( x < -3 \).

**Domain fungsi:**
\[
Df = (-\infty, -3) \cup (3, \infty)
\]

### 2. **Menentukan Range Fungsi (Rf)**
Range fungsi (Rf) adalah himpunan semua nilai \( f(x) \) yang mungkin dihasilkan oleh fungsi tersebut. Untuk menemukan range, kita analisis perilaku fungsi.

Fungsi \( f(x) = \frac{4}{\sqrt{x^2 - 9}} \) akan selalu positif, karena penyebutnya adalah akar dari ekspresi kuadrat, yang selalu positif untuk nilai \( x \) dalam domain.

Ketika \( |x| \) semakin besar (baik \( x > 3 \) maupun \( x < -3 \)):
- \( x^2 - 9 \) akan semakin besar, sehingga \( f(x) \) akan mendekati 0.

Namun, fungsi ini tidak pernah mencapai 0 karena nilai \( \frac{4}{\sqrt{x^2 - 9}} \) akan selalu positif untuk \( x > 3 \) atau \( x < -3 \).

Jadi, range fungsi adalah semua nilai positif dari \( f(x) \), yaitu:

**Range fungsi:**
\[
Rf = (0, \infty)
\]

### Kesimpulan:
- **Domain (Df):** \( (-\infty, -3) \cup (3, \infty) \)
- **Range (Rf):** \( (0, \infty) \)

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan?

### 5 Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan \( x^2 > 9 \) dengan metode lain?
2. Apa yang terjadi jika domain diperluas ke bilangan kompleks?
3. Bagaimana menentukan range jika fungsi ini memiliki koefisien berbeda di pembilang?
4. Apa hubungan antara domain dan range pada fungsi akar?
5. Bagaimana perilaku fungsi ketika mendekati batas domain \( x \to 3 \) atau \( x \to -3 \)?

### Tip:
Selalu periksa domain sebelum menyederhanakan fungsi yang melibatkan akar atau penyebut, karena keduanya sering membatasi nilai-nilai yang diperbolehkan untuk \(x\).

Pelajari cara menentukan domain dan range dari fungsi f(x) = 4 / √(x² - 9) dengan langkah-langkah rinci. Masalah ini mencakup konsep-konsep penting dalam aljabar, termasuk pertidaksamaan kuadrat dan sifat-sifat radikal. Cocok untuk siswa kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation