diketahui f(x) = (x+1)/(x−1), dan g(x)= √(x−2) . tentukan (fog)^(−1) (2)

Diketahui fungsi-fungsi sebagai berikut:

- \( f(x) = \frac{x+1}{x-1} \)
- \( g(x) = \sqrt{x-2} \)

Diminta menentukan \( (f \circ g)^{-1}(2) \), yang berarti kita perlu menemukan invers dari komposisi fungsi \( f \) dan \( g \), kemudian mencari nilainya untuk 2.

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

### 1. Bentuk Komposisi \( f(g(x)) \)
Kita mulai dengan mencari komposisi \( f(g(x)) \).

\[
f(g(x)) = f(\sqrt{x-2}) = \frac{\sqrt{x-2} + 1}{\sqrt{x-2} - 1}
\]

### 2. Tentukan Invers dari \( f(g(x)) \)
Sekarang kita perlu mencari invers dari fungsi \( f(g(x)) \), misalkan \( y = f(g(x)) \).

\[
y = \frac{\sqrt{x-2} + 1}{\sqrt{x-2} - 1}
\]

Langkah selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan ini untuk \( x \).

Kalikan kedua sisi dengan \( \sqrt{x-2} - 1 \):

\[
y(\sqrt{x-2} - 1) = \sqrt{x-2} + 1
\]

Kemudian distribusikan \( y \):

\[
y\sqrt{x-2} - y = \sqrt{x-2} + 1
\]

Sekarang, pindahkan semua suku yang melibatkan \( \sqrt{x-2} \) ke satu sisi:

\[
y\sqrt{x-2} - \sqrt{x-2} = y + 1
\]

Faktorkan \( \sqrt{x-2} \):

\[
(y - 1)\sqrt{x-2} = y + 1
\]

Sekarang, bagi kedua sisi dengan \( y - 1 \):

\[
\sqrt{x-2} = \frac{y+1}{y-1}
\]

Selanjutnya, kuadratkan kedua sisi:

\[
x - 2 = \left( \frac{y+1}{y-1} \right)^2
\]

\[
x = \left( \frac{y+1}{y-1} \right)^2 + 2
\]

### 3. Substitusi \( y = 2 \)
Karena kita diminta mencari \( (f \circ g)^{-1}(2) \), kita substitusi \( y = 2 \) ke persamaan invers tadi:

\[
x = \left( \frac{2+1}{2-1} \right)^2 + 2 = (3)^2 + 2 = 9 + 2 = 11
\]

### Jawaban Akhir
Nilai dari \( (f \circ g)^{-1}(2) \) adalah \( \boxed{11} \).

Apakah ada yang ingin Anda tanyakan atau penjelasan lebih lanjut?

Berikut 5 pertanyaan yang berhubungan:
1. Bagaimana cara umum menemukan invers suatu fungsi komposisi?
2. Apa saja syarat agar suatu fungsi memiliki invers?
3. Apa hubungan antara grafik suatu fungsi dan inversnya?
4. Mengapa kita perlu kuadratkan kedua sisi ketika mencari invers fungsi akar?
5. Bagaimana cara mencari domain dari \( f(g(x)) \)?

**Tip:** Saat mencari invers fungsi, selalu pastikan bahwa fungsi tersebut bijektif (satu-ke-satu dan pada) agar invers dapat ditemukan.

Pelajari cara menentukan invers dari komposisi fungsi f(x) = (x+1)/(x−1) dan g(x) = √(x−2) untuk mencari (fog)^(-1)(2). Pembahasan mencakup manipulasi aljabar, invers fungsi, dan komposisi fungsi. Cocok untuk siswa kelas 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation