Tentukan domain dan range dari fungsi komposisi (fog)(x), serta berapa nilai fungsi komposisi dari (fog)(-1)?

f(x)= 2x + 7 g(x) x²-2x+1

Diberikan dua fungsi:

- \( f(x) = 2x + 7 \)
- \( g(x) = x^2 - 2x + 1 \)

Kita akan mencari fungsi komposisi \((f \circ g)(x)\), domain dan range dari komposisi tersebut, serta nilai \((f \circ g)(-1)\).

### 1. Mencari Fungsi Komposisi \((f \circ g)(x)\)
Fungsi komposisi \((f \circ g)(x)\) didefinisikan sebagai \( f(g(x)) \). Ini berarti kita memasukkan \( g(x) \) ke dalam \( f(x) \):

\[
f(g(x)) = f(x^2 - 2x + 1)
\]

Kemudian, substitusikan \( g(x) \) ke dalam \( f(x) = 2x + 7 \):

\[
f(x^2 - 2x + 1) = 2(x^2 - 2x + 1) + 7
\]

Sederhanakan:

\[
f(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2 + 7 = 2x^2 - 4x + 9
\]

Jadi, fungsi komposisi \((f \circ g)(x)\) adalah:

\[
(f \circ g)(x) = 2x^2 - 4x + 9
\]

### 2. Domain dari \((f \circ g)(x)\)
Domain dari \((f \circ g)(x)\) adalah semua nilai \( x \) yang berada di dalam domain dari \( g(x) \) yang juga menghasilkan nilai yang dapat dipetakan oleh \( f \).

- Domain dari \( g(x) = x^2 - 2x + 1 \) adalah **semua bilangan real**, karena tidak ada pembatasan seperti akar atau pembagian dengan nol.
- Domain dari \( f(x) = 2x + 7 \) juga adalah **semua bilangan real**.

Karena kedua fungsi ini didefinisikan untuk semua bilangan real, maka domain dari \((f \circ g)(x)\) adalah:

\[
\text{Domain dari } (f \circ g)(x) = (-\infty, \infty)
\]

### 3. Range dari \((f \circ g)(x)\)
Fungsi komposisi \((f \circ g)(x) = 2x^2 - 4x + 9\) adalah fungsi kuadrat. Untuk mencari range, kita perlu menentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi tersebut.

- Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah \( ax^2 + bx + c \).
- Karena \( a = 2 > 0 \), parabola menghadap ke atas, sehingga fungsi ini memiliki **nilai minimum**.

Kita dapat menentukan titik minimum dengan rumus \( x = -\frac{b}{2a} \):

\[
x = -\frac{-4}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1
\]

Substitusi \( x = 1 \) ke dalam \((f \circ g)(x)\):

\[
(f \circ g)(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 9 = 2 - 4 + 9 = 7
\]

Jadi, nilai minimum dari \((f \circ g)(x)\) adalah 7, dan karena parabola menghadap ke atas, range dari \((f \circ g)(x)\) adalah:

\[
\text{Range dari } (f \circ g)(x) = [7, \infty)
\]

### 4. Nilai dari \((f \circ g)(-1)\)
Substitusi \( x = -1 \) ke dalam fungsi komposisi:

\[
(f \circ g)(-1) = 2(-1)^2 - 4(-1) + 9
\]

Hitung:

\[
(f \circ g)(-1) = 2 \times 1 + 4 + 9 = 2 + 4 + 9 = 15
\]

Jadi, nilai \((f \circ g)(-1)\) adalah:

\[
(f \circ g)(-1) = 15
\]

### Rangkuman
- **Domain**: \( (-\infty, \infty) \)
- **Range**: \( [7, \infty) \)
- **Nilai \((f \circ g)(-1)\)**: 15

Apakah ada yang ingin Anda tanyakan, atau butuh penjelasan lebih lanjut?

Berikut beberapa pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan nilai minimum dan maksimum fungsi kuadrat lainnya?
2. Apa perbedaan antara domain dan range dalam fungsi?
3. Bagaimana menemukan fungsi komposisi untuk fungsi selain polinomial?
4. Bagaimana cara menentukan domain dari fungsi yang melibatkan akar?
5. Apa arti dari \((g \circ f)(x)\) dan bagaimana cara menghitungnya?

**Tip**: Untuk mengetahui domain dari suatu fungsi, selalu periksa apakah ada pembatasan seperti pembagian dengan nol atau nilai negatif dalam akar kuadrat.

Tentukan domain dan range dari fungsi komposisi (fog)(x), serta berapa nilai fungsi komposisi dari (fog)(-1)? f(x)= 2x + 7 g(x)= x²-2x+1

Pelajari cara menentukan domain dan range dari fungsi komposisi (f ∘ g)(x) dengan f(x) = 2x + 7 dan g(x) = x² - 2x + 1. Solusi ini mencakup konsep fungsi kuadrat dan komposisi fungsi, serta menentukan nilai (f ∘ g)(-1). Cocok untuk siswa kelas 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation