Misalnya fungsi densitas gabungan dari Y dan Z berbentuk f(y,z) = 10yz^2 ; 0<y<z, 0<z<1 dan f(y,z) = 0 untuk y,z lainnya. Tentukan fungsi densitas marginal dari Y, g(y)!

Untuk menemukan fungsi densitas marginal dari \( Y \), yaitu \( g(y) \), kita perlu menghitung integral dari fungsi densitas gabungan \( f(y, z) \) terhadap variabel \( z \), dengan batas-batas yang ditentukan dalam soal.

Diberikan fungsi densitas gabungan \( f(y, z) = 10yz^2 \) untuk \( 0 < y < z \) dan \( 0 < z < 1 \), kita dapat mengekspresikan fungsi densitas marginal \( g(y) \) sebagai:

\[
g(y) = \int_{y}^{1} f(y, z) \, dz = \int_{y}^{1} 10yz^2 \, dz
\]

Sekarang, kita hitung integral tersebut:

\[
g(y) = 10y \int_{y}^{1} z^2 \, dz
\]

Integrasi dari \( z^2 \) terhadap \( z \) adalah:

\[
\int z^2 \, dz = \frac{z^3}{3}
\]

Maka, substitusikan batas-batas \( z \) dari \( y \) sampai \( 1 \):

\[
g(y) = 10y \left[ \frac{z^3}{3} \right]_{y}^{1}
\]

Hitung nilai batas:

\[
g(y) = 10y \left( \frac{1^3}{3} - \frac{y^3}{3} \right)
\]

\[
g(y) = 10y \left( \frac{1}{3} - \frac{y^3}{3} \right)
\]

\[
g(y) = \frac{10y}{3} \left( 1 - y^3 \right)
\]

Jadi, fungsi densitas marginal dari \( Y \) adalah:

\[
g(y) = \frac{10y}{3} (1 - y^3)
\]

dengan \( 0 < y < 1 \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? Berikut 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan fungsi densitas marginal dari \( Z \)?
2. Apa langkah-langkah dalam menyelesaikan integral fungsi densitas gabungan?
3. Apa itu fungsi distribusi kumulatif (CDF) dan bagaimana kita menemukannya dari densitas marginal?
4. Bagaimana cara memverifikasi bahwa fungsi densitas marginal adalah fungsi densitas yang valid?
5. Bagaimana bentuk fungsi densitas jika syarat \( 0 < y < z \) berubah?

**Tip:** Ingat bahwa fungsi densitas probabilitas harus memenuhi syarat total probabilitas sebesar 1.

Solve for the marginal density function g(y) from the joint probability density f(y, z) = 10yz^2, with limits 0 < y < z and 0 < z < 1. This step-by-step solution covers key concepts like joint density and integral calculus, suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation