Dianggap bahwa fungsi densitas gabungan dari X dan Y diberikan dengan: f(x,y)=c(4x+2y+1); 0<=x<=40, 0<y<2 =0; x,y lainnya. Tentukan fungsi densitas marginal dari Y!

Diberikan bahwa fungsi densitas gabungan dari \( X \) dan \( Y \) adalah:

\[
f(x,y) = c(4x + 2y + 1)
\]

untuk \( 0 \leq x \leq 40 \) dan \( 0 \leq y \leq 2 \), serta \( f(x, y) = 0 \) di luar rentang tersebut.

Untuk menentukan fungsi densitas marginal dari \( Y \), kita perlu menghitung integral dari \( f(x, y) \) terhadap \( x \) pada interval \( 0 \leq x \leq 40 \), karena fungsi densitas marginal dari \( Y \) adalah:

\[
f_Y(y) = \int_{0}^{40} f(x, y) \, dx
\]

Kita mulai dengan mengekspresikan fungsi densitas gabungan:

\[
f(x, y) = c(4x + 2y + 1)
\]

Integralkan fungsi tersebut terhadap \( x \):

\[
f_Y(y) = \int_{0}^{40} c(4x + 2y + 1) \, dx
\]

Mari kita lakukan integrasinya:

\[
\int_{0}^{40} (4x + 2y + 1) \, dx = \left[ 2x^2 + 2yx + x \right]_0^{40}
\]

Substitusi batas-batasnya:

\[
= \left( 2(40)^2 + 2y(40) + 40 \right) - \left( 2(0)^2 + 2y(0) + 0 \right)
\]
\[
= \left( 2(1600) + 80y + 40 \right) = 3200 + 80y + 40 = 3240 + 80y
\]

Jadi:

\[
f_Y(y) = c(3240 + 80y)
\]

Untuk menemukan \( c \), kita gunakan fakta bahwa total probabilitas harus sama dengan 1, yaitu:

\[
\int_{0}^{2} f_Y(y) \, dy = 1
\]

Mari kita integralkan \( f_Y(y) \):

\[
\int_{0}^{2} c(3240 + 80y) \, dy = c \left[ 3240y + 40y^2 \right]_0^{2}
\]

Substitusi batas-batasnya:

\[
c \left[ 3240(2) + 40(2)^2 \right] = c(6480 + 160) = c(6640)
\]

Sehingga:

\[
c(6640) = 1
\]

Maka:

\[
c = \frac{1}{6640}
\]

Akhirnya, fungsi densitas marginal dari \( Y \) adalah:

\[
f_Y(y) = \frac{1}{6640} (3240 + 80y)
\]

Apakah ada yang ingin Anda tanyakan atau butuh penjelasan lebih lanjut?

### Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menentukan fungsi densitas marginal dari \( X \)?
2. Apa arti konstanta \( c \) dalam konteks fungsi densitas gabungan?
3. Bagaimana cara memverifikasi bahwa \( f_Y(y) \) adalah fungsi densitas yang sah?
4. Apa itu fungsi distribusi kumulatif (CDF) dan bagaimana cara menghitungnya untuk \( Y \)?
5. Bagaimana hubungan antara fungsi densitas gabungan dan fungsi densitas marginal?

**Tip**: Untuk memverifikasi fungsi densitas marginal, Anda dapat selalu mengecek bahwa integralnya di seluruh rentang variabel sama dengan 1.

Learn how to compute the marginal density function of Y given the joint probability density function f(x,y)=c(4x+2y+1) for 0 ≤ x ≤ 40 and 0 ≤ y ≤ 2. This problem involves key concepts like joint and marginal distributions, as well as integration techniques. Suitable for undergraduate-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation