Diberikan bahwa fungsi densitas gabungan dari $X$ dan $Y$ adalah:

$f(x,y) = c(4x + 2y + 1)$

untuk $0 \leq x \leq 40$ dan $0 \leq y \leq 2$, serta $f(x, y) = 0$ di luar rentang tersebut.

Untuk menentukan fungsi densitas marginal dari $Y$, kita perlu menghitung integral dari $f(x, y)$ terhadap $x$ pada interval $0 \leq x \leq 40$, karena fungsi densitas marginal dari $Y$ adalah:

$f_Y(y) = \int_{0}^{40} f(x, y) \, dx$

Kita mulai dengan mengekspresikan fungsi densitas gabungan:

$f(x, y) = c(4x + 2y + 1)$

Integralkan fungsi tersebut terhadap $x$:

$f_Y(y) = \int_{0}^{40} c(4x + 2y + 1) \, dx$

Mari kita lakukan integrasinya:

$\int_{0}^{40} (4x + 2y + 1) \, dx = \left[ 2x^2 + 2yx + x \right]_0^{40}$

Substitusi batas-batasnya:

$= \left( 2(40)^2 + 2y(40) + 40 \right) - \left( 2(0)^2 + 2y(0) + 0 \right)$ $= \left( 2(1600) + 80y + 40 \right) = 3200 + 80y + 40 = 3240 + 80y$

Jadi:

$f_Y(y) = c(3240 + 80y)$

Untuk menemukan $c$, kita gunakan fakta bahwa total probabilitas harus sama dengan 1, yaitu:

$\int_{0}^{2} f_Y(y) \, dy = 1$

Mari kita integralkan $f_Y(y)$:

$\int_{0}^{2} c(3240 + 80y) \, dy = c \left[ 3240y + 40y^2 \right]_0^{2}$

Substitusi batas-batasnya:

$c \left[ 3240(2) + 40(2)^2 \right] = c(6480 + 160) = c(6640)$

Sehingga:

$c(6640) = 1$

Maka:

$c = \frac{1}{6640}$

Akhirnya, fungsi densitas marginal dari $Y$ adalah:

$f_Y(y) = \frac{1}{6640} (3240 + 80y)$

Apakah ada yang ingin Anda tanyakan atau butuh penjelasan lebih lanjut?

Pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan fungsi densitas marginal dari $X$?
2. Apa arti konstanta $c$ dalam konteks fungsi densitas gabungan?
3. Bagaimana cara memverifikasi bahwa $f_Y(y)$ adalah fungsi densitas yang sah?
4. Apa itu fungsi distribusi kumulatif (CDF) dan bagaimana cara menghitungnya untuk $Y$?
5. Bagaimana hubungan antara fungsi densitas gabungan dan fungsi densitas marginal?

Tip: Untuk memverifikasi fungsi densitas marginal, Anda dapat selalu mengecek bahwa integralnya di seluruh rentang variabel sama dengan 1.