$$  $$Diketahui fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk p(x,y)=(1/32)(x+y) dengan x=1,2 dan y=1,2,3,4. Tentukan fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y=y.

Diberikan fungsi peluang gabungan $ p(x, y) = \frac{1}{32}(x + y) $, dengan $ x = 1, 2 $ dan $ y = 1, 2, 3, 4 $.

Untuk mencari **fungsi peluang bersyarat** $ P(X = x | Y = y) $, kita dapat menggunakan rumus probabilitas bersyarat berikut:

\[
P(X = x | Y = y) = \frac{P(X = x, Y = y)}{P(Y = y)}
\]

### 1. Hitung $ P(X = x, Y = y) $

Dari fungsi peluang gabungan yang diberikan:

\[
P(X = x, Y = y) = \frac{1}{32}(x + y)
\]

### 2. Hitung $ P(Y = y) $

Untuk mendapatkan $ P(Y = y) $, kita perlu menjumlahkan probabilitas dari semua nilai $ x $ yang mungkin, yaitu $ x = 1 $ dan $ x = 2 $:

\[
P(Y = y) = \sum_{x=1}^{2} P(X = x, Y = y)
\]

Misalkan kita hitung satu per satu:

- Untuk $ y = 1 $:
  \[
  P(Y = 1) = P(1, 1) + P(2, 1) = \frac{1}{32}(1 + 1) + \frac{1}{32}(2 + 1) = \frac{2}{32} + \frac{3}{32} = \frac{5}{32}
  \]
- Untuk $ y = 2 $:
  \[
  P(Y = 2) = P(1, 2) + P(2, 2) = \frac{1}{32}(1 + 2) + \frac{1}{32}(2 + 2) = \frac{3}{32} + \frac{4}{32} = \frac{7}{32}
  \]
- Untuk $ y = 3 $:
  \[
  P(Y = 3) = P(1, 3) + P(2, 3) = \frac{1}{32}(1 + 3) + \frac{1}{32}(2 + 3) = \frac{4}{32} + \frac{5}{32} = \frac{9}{32}
  \]
- Untuk $ y = 4 $:
  \[
  P(Y = 4) = P(1, 4) + P(2, 4) = \frac{1}{32}(1 + 4) + \frac{1}{32}(2 + 4) = \frac{5}{32} + \frac{6}{32} = \frac{11}{32}
  \]

### 3. Hitung $ P(X = x | Y = y) $

Sekarang, kita dapat menghitung fungsi peluang bersyarat untuk setiap nilai $ y $:

- Untuk $ y = 1 $:
  \[
  P(X = 1 | Y = 1) = \frac{P(1, 1)}{P(Y = 1)} = \frac{\frac{2}{32}}{\frac{5}{32}} = \frac{2}{5}
  \]
  \[
  P(X = 2 | Y = 1) = \frac{P(2, 1)}{P(Y = 1)} = \frac{\frac{3}{32}}{\frac{5}{32}} = \frac{3}{5}
  \]

- Untuk $ y = 2 $:
  \[
  P(X = 1 | Y = 2) = \frac{P(1, 2)}{P(Y = 2)} = \frac{\frac{3}{32}}{\frac{7}{32}} = \frac{3}{7}
  \]
  \[
  P(X = 2 | Y = 2) = \frac{P(2, 2)}{P(Y = 2)} = \frac{\frac{4}{32}}{\frac{7}{32}} = \frac{4}{7}
  \]

- Untuk $ y = 3 $:
  \[
  P(X = 1 | Y = 3) = \frac{P(1, 3)}{P(Y = 3)} = \frac{\frac{4}{32}}{\frac{9}{32}} = \frac{4}{9}
  \]
  \[
  P(X = 2 | Y = 3) = \frac{P(2, 3)}{P(Y = 3)} = \frac{\frac{5}{32}}{\frac{9}{32}} = \frac{5}{9}
  \]

- Untuk $ y = 4 $:
  \[
  P(X = 1 | Y = 4) = \frac{P(1, 4)}{P(Y = 4)} = \frac{\frac{5}{32}}{\frac{11}{32}} = \frac{5}{11}
  \]
  \[
  P(X = 2 | Y = 4) = \frac{P(2, 4)}{P(Y = 4)} = \frac{\frac{6}{32}}{\frac{11}{32}} = \frac{6}{11}
  \]

Jadi, fungsi peluang bersyarat $ P(X = x | Y = y) $ dapat dirangkum sebagai berikut:

- Untuk $ y = 1 $:
  \[
  P(X = 1 | Y = 1) = \frac{2}{5}, \quad P(X = 2 | Y = 1) = \frac{3}{5}
  \]
- Untuk $ y = 2 $:
  \[
  P(X = 1 | Y = 2) = \frac{3}{7}, \quad P(X = 2 | Y = 2) = \frac{4}{7}
  \]
- Untuk $ y = 3 $:
  \[
  P(X = 1 | Y = 3) = \frac{4}{9}, \quad P(X = 2 | Y = 3) = \frac{5}{9}
  \]
- Untuk $ y = 4 $:
  \[
  P(X = 1 | Y = 4) = \frac{5}{11}, \quad P(X = 2 | Y = 4) = \frac{6}{11}
  \]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut mengenai langkah-langkah ini atau ada pertanyaan lain?

### Pertanyaan terkait:
1. Bagaimana menghitung ekspektasi $ E(X | Y = y) $?
2. Bagaimana cara menentukan variansi $ \text{Var}(X | Y = y) $?
3. Apa itu distribusi marginal dari $ X $ dan $ Y $?
4. Bagaimana cara menentukan distribusi gabungan dari dua variabel acak diskret?
5. Bagaimana interpretasi dari fungsi peluang bersyarat dalam kasus nyata?

### Tip:
Peluang bersyarat adalah alat penting dalam statistika untuk mempersempit ruang kemungkinan berdasarkan informasi tambahan.

Diketahui fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk p(x,y)=(1/32)(x+y) dengan x=1,2 dan y=1,2,3,4. Tentukan fungsi peluang bersyarat dari X diberikan Y=y.

Temukan bagaimana cara menentukan fungsi peluang bersyarat X diberikan Y=y menggunakan fungsi peluang gabungan p(x,y) = (1/32)(x + y). Pelajari konsep probabilitas bersyarat dan peluang gabungan dengan langkah-langkah rinci. Cocok untuk mahasiswa yang mempelajari probabilitas atau statistika.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation