Misalnya fungsi peluang gabungan dari X dan Y berbentuk : p(x,y)=k(x^2+y^2); x=-1,0,1,3 dan y=-1,2,3. Hitunglah nilai k!

Untuk menghitung nilai \( k \), kita perlu memanfaatkan sifat fungsi peluang gabungan \( p(x, y) \), yaitu bahwa total probabilitas dari semua pasangan \( (x, y) \) harus sama dengan 1. Artinya:

\[
\sum_{x} \sum_{y} p(x, y) = 1
\]

Diketahui bahwa \( p(x, y) = k(x^2 + y^2) \), dan \( x \in \{-1, 0, 1, 3\} \), serta \( y \in \{-1, 2, 3\} \). Maka kita dapat menghitung total probabilitas dengan menjumlahkan nilai-nilai \( p(x, y) \) untuk setiap pasangan \( (x, y) \).

1. Hitung nilai \( p(x, y) \) untuk setiap pasangan \( (x, y) \):
   - Jika \( x = -1 \), \( y = -1 \): \( p(-1, -1) = k((-1)^2 + (-1)^2) = k(1 + 1) = 2k \)
   - Jika \( x = -1 \), \( y = 2 \): \( p(-1, 2) = k((-1)^2 + 2^2) = k(1 + 4) = 5k \)
   - Jika \( x = -1 \), \( y = 3 \): \( p(-1, 3) = k((-1)^2 + 3^2) = k(1 + 9) = 10k \)
   - Jika \( x = 0 \), \( y = -1 \): \( p(0, -1) = k(0^2 + (-1)^2) = k(0 + 1) = k \)
   - Jika \( x = 0 \), \( y = 2 \): \( p(0, 2) = k(0^2 + 2^2) = k(0 + 4) = 4k \)
   - Jika \( x = 0 \), \( y = 3 \): \( p(0, 3) = k(0^2 + 3^2) = k(0 + 9) = 9k \)
   - Jika \( x = 1 \), \( y = -1 \): \( p(1, -1) = k(1^2 + (-1)^2) = k(1 + 1) = 2k \)
   - Jika \( x = 1 \), \( y = 2 \): \( p(1, 2) = k(1^2 + 2^2) = k(1 + 4) = 5k \)
   - Jika \( x = 1 \), \( y = 3 \): \( p(1, 3) = k(1^2 + 3^2) = k(1 + 9) = 10k \)
   - Jika \( x = 3 \), \( y = -1 \): \( p(3, -1) = k(3^2 + (-1)^2) = k(9 + 1) = 10k \)
   - Jika \( x = 3 \), \( y = 2 \): \( p(3, 2) = k(3^2 + 2^2) = k(9 + 4) = 13k \)
   - Jika \( x = 3 \), \( y = 3 \): \( p(3, 3) = k(3^2 + 3^2) = k(9 + 9) = 18k \)

2. Jumlahkan semua nilai \( p(x, y) \):

\[
\sum_{x} \sum_{y} p(x, y) = 2k + 5k + 10k + k + 4k + 9k + 2k + 5k + 10k + 10k + 13k + 18k
\]
\[
= (2 + 5 + 10 + 1 + 4 + 9 + 2 + 5 + 10 + 10 + 13 + 18)k = 89k
\]

3. Berdasarkan sifat fungsi peluang, jumlah total peluang harus sama dengan 1:

\[
89k = 1
\]

4. Nilai \( k \) dapat diperoleh dengan membagi 1 dengan 89:

\[
k = \frac{1}{89}
\]

Jadi, nilai \( k \) adalah \( \frac{1}{89} \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan? 

Berikut 5 pertanyaan terkait:
1. Bagaimana cara menghitung probabilitas marginal dari variabel \( X \) atau \( Y \)?
2. Apa hubungan antara probabilitas gabungan dan distribusi marginal?
3. Bagaimana jika kita ingin mencari ekspektasi dari \( X \) dan \( Y \)?
4. Apa saja sifat yang harus dipenuhi oleh fungsi peluang gabungan?
5. Bagaimana jika kita ingin menghitung kovarians antara \( X \) dan \( Y \)?

**Tip:** Jika Anda memahami probabilitas gabungan, menghitung distribusi marginal menjadi lebih mudah dengan cara menjumlahkan probabilitas pada variabel yang ingin dieliminasi.

Pelajari cara menghitung nilai k dari fungsi peluang gabungan p(x, y) = k(x^2 + y^2) dengan variabel x = {-1, 0, 1, 3} dan y = {-1, 2, 3}. Ikuti langkah-langkah lengkap, termasuk penggunaan sifat total probabilitas dan teknik penjumlahan.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation