Найти точку максимума Y=(-54/x^2)+4x+3

Функция задана как:

\[
Y(x) = \frac{-54}{x^2} + 4x + 3
\]

Для нахождения точки максимума функции необходимо:

1. Найти первую производную функции \( Y'(x) \).
2. Приравнять её к нулю, чтобы найти критические точки.
3. Найти вторую производную, чтобы определить характер этих точек (максимум или минимум).

### Шаг 1: Найдём первую производную

\[
Y'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{-54}{x^2} + 4x + 3 \right)
\]

Первая производная:

\[
Y'(x) = \frac{108}{x^3} + 4
\]

### Шаг 2: Приравниваем первую производную к нулю

\[
\frac{108}{x^3} + 4 = 0
\]

Решаем уравнение:

\[
\frac{108}{x^3} = -4
\]

\[
x^3 = \frac{-108}{4}
\]

\[
x^3 = -27
\]

\[
x = -3
\]

### Шаг 3: Проверим вторую производную

Найдём вторую производную \( Y''(x) \):

\[
Y''(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{108}{x^3} + 4 \right) = \frac{-324}{x^4}
\]

Подставляем \( x = -3 \) для проверки:

\[
Y''(-3) = \frac{-324}{(-3)^4} = \frac{-324}{81} = -4
\]

Так как вторая производная отрицательна (\( Y''(-3) = -4 \)), это означает, что точка \( x = -3 \) является точкой максимума.

### Ответ:
Точка максимума функции \( Y(x) \) находится при \( x = -3 \).

Хочешь увидеть более детальные шаги или график функции? 

Вот несколько вопросов для дальнейшего изучения:

1. Как определить точки минимума для той же функции?
2. Как изменяется функция при изменении коэффициентов?
3. Что происходит с функцией при \( x \to 0 \)?
4. Какова область определения этой функции?
5. Как найти точки перегиба для этой функции?

**Совет:** Когда в уравнении есть дроби с переменными в знаменателе, обратите внимание на области определения.

Learn how to find the maximum point of the function Y = (-54/x^2) + 4x + 3 using calculus. This step-by-step solution covers finding the first and second derivatives, solving for critical points, and applying the second derivative test. Suitable for advanced high school and college-level calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation