Déterminer la valeur de paramètres m et h de la fonction affine k(x) = mm + h dont le graphe est une droite parallèle au graphe g(x)= -2x-1 et qui coupe le graphe de f(x)= -(x+1)²+4 en un seul point.

Pour résoudre ce problème, nous devons déterminer les valeurs des paramètres \( m \) et \( h \) de la fonction affine \( k(x) = mx + h \) en tenant compte des conditions suivantes :

1. **La droite \( k(x) \) est parallèle à la droite \( g(x) = -2x - 1 \)**. Cela implique que les pentes de \( k(x) \) et \( g(x) \) sont égales. Donc, la pente \( m \) de la fonction \( k(x) \) est la même que celle de \( g(x) \). Puisque la pente de \( g(x) \) est \( -2 \), nous avons :

   \[
   m = -2.
   \]

   Ainsi, la fonction affine devient \( k(x) = -2x + h \).

2. **La droite \( k(x) \) coupe le graphe de \( f(x) = -(x+1)^2 + 4 \) en un seul point.** Cela signifie que le système d'équations \( k(x) = f(x) \) doit avoir une unique solution, autrement dit, il doit y avoir une intersection unique.

   La fonction \( f(x) \) est une parabole (forme quadratique), et pour qu'une droite coupe une parabole en un seul point, cela signifie que le discriminant de l'équation quadratique obtenue en résolvant \( k(x) = f(x) \) doit être égal à zéro.

### Étape 1 : Résolvons \( k(x) = f(x) \)

En substituant \( k(x) = -2x + h \) et \( f(x) = -(x + 1)^2 + 4 \), nous obtenons l'équation suivante :

\[
-2x + h = -(x + 1)^2 + 4.
\]

Développons le côté droit :

\[
(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1,
\]

donc l'équation devient :

\[
-2x + h = -(x^2 + 2x + 1) + 4,
\]

ce qui donne :

\[
-2x + h = -x^2 - 2x - 1 + 4,
\]

\[
-2x + h = -x^2 - 2x + 3.
\]

En simplifiant, on obtient :

\[
0 = -x^2 + h - 3.
\]

### Étape 2 : Discriminant

Nous avons l'équation quadratique \( -x^2 + h - 3 = 0 \). Pour qu'il y ait une seule solution, le discriminant doit être égal à 0. L'équation peut être réécrite sous la forme :

\[
x^2 = h - 3.
\]

Pour qu'il y ait une seule solution, le discriminant de cette équation quadratique doit être nul. Le discriminant est donné par :

\[
\Delta = b^2 - 4ac.
\]

Ici, \( a = 1 \), \( b = 0 \) et \( c = -(h - 3) \), donc :

\[
\Delta = 0^2 - 4(1)(-(h - 3)) = 4(h - 3).
\]

Pour qu'il y ait une solution unique, il faut que \( \Delta = 0 \), donc :

\[
4(h - 3) = 0.
\]

Cela implique que :

\[
h - 3 = 0,
\]

donc \( h = 3 \).

### Conclusion

Les paramètres sont \( m = -2 \) et \( h = 3 \). La fonction affine recherchée est donc :

\[
k(x) = -2x + 3.
\]

---

Avez-vous des questions ou souhaitez-vous des détails supplémentaires sur l'une des étapes ? 

Voici 5 questions relatives :

1. Comment déterminer si deux droites sont parallèles ou perpendiculaires ?
2. Qu'est-ce qu'une parabole et quelles sont ses propriétés ?
3. Comment calculer le discriminant d'une équation quadratique ?
4. Comment résoudre un système de deux équations non linéaires ?
5. Quels sont les différents types de solutions pour une équation quadratique ?

**Conseil** : Lors de la résolution d'un système d'équations, il est souvent utile de reformuler chaque équation pour simplifier les calculs avant d'appliquer des méthodes de résolution.

This problem involves finding the parameters m and h for a linear function parallel to g(x) = -2x - 1 that intersects the quadratic function f(x) = -(x+1)^2 + 4 at exactly one point. It explores key concepts like linear functions, quadratic functions, and the discriminant of a quadratic equation. Suitable for Grades 10-12.

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