funkcja f(x)=(1/2m2-3m-8)x+wartoscbezwzgledna(2m+5) -3 , wyznacz wszystkie wartosci prametru dla ktorych wykres funkcji f przechodzi przez 2 3 i 4 cwiartkie ukladu wspolrzednych

Aby wykres funkcji \( f(x) = \left(\frac{1}{2}m^2 - 3m - 8\right)x + |2m + 5| - 3 \) przechodził przez II, III i IV ćwiartkę układu współrzędnych, muszą zostać spełnione następujące warunki:

1. **II ćwiartka:** W tej ćwiartce \( x < 0 \) oraz \( y > 0 \). Zatem nachylenie funkcji \( a = \frac{1}{2}m^2 - 3m - 8 \) powinno być ujemne (\( a < 0 \)), aby dla \( x < 0 \) \( y > 0 \).

2. **III ćwiartka:** W tej ćwiartce \( x < 0 \) oraz \( y < 0 \). Oznacza to, że funkcja musi mieć takie nachylenie, aby dla \( x < 0 \), \( y \) mógł przyjmować ujemne wartości. Musi to być możliwe w zależności od wartości wyrazu wolnego \( |2m + 5| - 3 \).

3. **IV ćwiartka:** W tej ćwiartce \( x > 0 \) oraz \( y < 0 \). Aby funkcja mogła przechodzić przez tę ćwiartkę, nachylenie \( a \) musi być ujemne, a wartość wyrazu wolnego powinna umożliwiać \( y < 0 \) dla \( x > 0 \).

### Krok 1: Znalezienie warunków dla nachylenia funkcji
Musimy znaleźć wartości \( m \), dla których nachylenie \( a \) jest ujemne:
\[
a = \frac{1}{2}m^2 - 3m - 8 < 0
\]
Rozwiązujemy nierówność kwadratową:
\[
\frac{1}{2}m^2 - 3m - 8 = 0
\]
Pomnóżmy obie strony przez 2, aby uprościć:
\[
m^2 - 6m - 16 = 0
\]
Wyznaczamy pierwiastki tej funkcji kwadratowej za pomocą wzoru:
\[
m = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
m = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2}
\]
\[
m = \frac{6 \pm \sqrt{100}}{2}
\]
\[
m = \frac{6 \pm 10}{2}
\]
\[
m_1 = \frac{16}{2} = 8, \quad m_2 = \frac{-4}{2} = -2
\]
Nierówność \( \frac{1}{2}m^2 - 3m - 8 < 0 \) jest spełniona dla:
\[
-2 < m < 8
\]

### Krok 2: Wartość wyrazu wolnego
Aby funkcja przechodziła przez III i IV ćwiartkę, wartość wyrazu wolnego \( |2m + 5| - 3 \) musi być ujemna. Sprawdzamy, kiedy tak się dzieje:

- Jeśli \( 2m + 5 \geq 0 \), to \( |2m + 5| = 2m + 5 \).
- Jeśli \( 2m + 5 < 0 \), to \( |2m + 5| = -(2m + 5) \).

Dla obu przypadków:
- \( |2m + 5| - 3 < 0 \)
- \( 2m + 5 - 3 < 0 \) lub \( -(2m + 5) - 3 < 0 \).

Rozwiązujemy nierówności:
1. \( 2m + 5 - 3 < 0 \) daje \( 2m + 2 < 0 \), czyli \( m < -1 \).
2. \( -(2m + 5) - 3 < 0 \) daje \( -2m - 8 < 0 \), czyli \( m > -4 \).

### Krok 3: Ostateczne rozwiązanie
Zbiór wartości \( m \) z warunków I i II ćwiartki to:
\[
m \in (-2, -1)
\]

Tylko w tym przedziale wykres funkcji \( f(x) \) przechodzi przez II, III i IV ćwiartkę.

Czy chciałbyś przeanalizować ten proces bardziej szczegółowo lub masz dodatkowe pytania? Oto kilka powiązanych pytań:

1. Jakie są możliwe wartości \( m \), aby wykres funkcji przechodził przez pierwszą ćwiartkę?
2. Co się stanie z wykresem funkcji, gdy \( m = -2 \) lub \( m = -1 \)?
3. Jakie są punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych?
4. Jak zmienia się wykres funkcji dla różnych wartości \( m \)?
5. Jakie jest znaczenie wartości wyrazu wolnego w kontekście przesunięcia wykresu funkcji?

**Wskazówka:** Wartość wyrazu wolnego w funkcji liniowej decyduje o punkcie przecięcia wykresu z osią \( y \).

Explore how to determine the parameter values for the function f(x) = (1/2m^2 - 3m - 8)x + |2m + 5| - 3 that allow its graph to pass through quadrants II, III, and IV of the coordinate system. This problem covers quadratic inequalities, algebraic expressions, and absolute values. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation