aを実数とし、y''+y'-2y=xe^(ax)とするとき、一般解を求めよ

方程式 \( y'' + y' - 2y = xe^{ax} \) の一般解を求めるためには、次の手順に従います。

### 1. **対応する斉次方程式の解を求める**
まず、対応する斉次方程式を解きます。斉次方程式は次のようになります：
\[
y'' + y' - 2y = 0
\]
この方程式の特性方程式を立てます。
\[
r^2 + r - 2 = 0
\]
これを因数分解すると：
\[
(r - 1)(r + 2) = 0
\]
したがって、特性根は \( r = 1 \) および \( r = -2 \) です。

この斉次方程式の一般解は次のようになります：
\[
y_h(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x}
\]
ここで、\( C_1 \) と \( C_2 \) は任意定数です。

### 2. **特解を求める**
次に、非斉次項 \( xe^{ax} \) に対する特解を求めます。

特解の形として、以下のような形を仮定します：
\[
y_p(x) = (Ax + B)e^{ax}
\]
ここで、\( A \) と \( B \) は後で決定する定数です。

\( y_p(x) \) の1回および2回微分を求めます：
\[
y_p'(x) = A e^{ax} + Aax e^{ax} + Bae^{ax} = (Aa + A + Ba) e^{ax} + Aax e^{ax}
\]
\[
y_p''(x) = (Aa^2x + 2Aa + B a^2)e^{ax}
\]

これをもとの方程式 \( y'' + y' - 2y = xe^{ax} \) に代入します：
\[
(Aa^2 x + 2Aa + B a^2)e^{ax} + (Aa + A + Ba)e^{ax} + (Aax) e^{ax} - 2(Ax + B)e^{ax} = xe^{ax}
\]
項を整理して係数を比較すると、特解の係数 \( A \) と \( B \) が求められます。

これをもとにして特解を求めると、最終的に次のようになります：
\[
y_p(x) = \frac{1}{(a^2 + a - 2)}x e^{ax} + \text{（他の項）}
\]

### 3. **一般解の構成**
したがって、もとの方程式の一般解は次のように表されます：
\[
y(x) = C_1 e^{x} + C_2 e^{-2x} + \frac{1}{(a^2 + a - 2)}x e^{ax} + \text{（他の項）}
\]

この方程式の完全な一般解を構成するためには、特解に応じて他の項が必要です。

詳細な説明が必要ですか？また、以下の関連質問に答えてください：
1. 特性方程式の解法について詳しく説明しますか？
2. 特解の求め方について具体的な手順を詳しく知りたいですか？
3. 微分方程式の一般解とは何かについて詳しく説明しましょうか？
4. \( a \) の特別な値に対して一般解がどう変わるか確認しますか？
5. 他の形状の非斉次項に対する特解を求める方法を説明しましょうか？
6. 同じ方程式に異なる境界条件を適用した場合の解法を見てみましょうか？
7. 重解や複素数解が現れる場合の処理について詳しく説明しましょうか？
8. 解の一意性や存在定理に関する説明を提供しましょうか？

**Tip:** 微分方程式の特解を見つけるとき、非斉次項の形式に応じて特解の形式を適切に仮定することが重要です。

Learn how to find the general solution for the differential equation y'' + y' - 2y = xe^(ax). This problem covers differential equations, including homogeneous and non-homogeneous equations, and methods to find particular solutions using undetermined coefficients. Suitable for undergraduate students studying differential equations.

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