aを実数とし、y''+y'-2y=xe^(ax)とするとき、一般解を求めよ。
なお、y''+y'-2y=xの一般解を求めたのち、上記の一般解を求めよ

この問題では、微分方程式 \( y'' + y' - 2y = xe^{ax} \) の一般解を求めることが求められています。最初に、関連する微分方程式 \( y'' + y' - 2y = x \) の一般解を求め、それを元にして元の方程式の一般解を導出します。

### 1. 同次方程式の解を求める
まず、対応する同次方程式 \( y'' + y' - 2y = 0 \) を解きます。

この方程式の特性方程式は次のようになります：
\[
r^2 + r - 2 = 0
\]

この方程式を解くと、次のように因数分解できます：
\[
(r - 1)(r + 2) = 0
\]

したがって、根は \( r = 1 \) および \( r = -2 \) です。

よって、同次方程式の一般解は
\[
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}
\]
です。

### 2. 非同次方程式 \( y'' + y' - 2y = x \) の特解を求める
次に、非同次方程式 \( y'' + y' - 2y = x \) の特解を求めます。試行解として \( y_p = Ax + B \) を仮定します。これを微分して、元の方程式に代入します。

\[
y_p' = A, \quad y_p'' = 0
\]

これらを方程式に代入すると：
\[
0 + A - 2(Ax + B) = x
\]
\[
-2Ax + A - 2B = x
\]

両辺を比較すると、次のような方程式が得られます：
\[
-2A = 1 \quad \text{および} \quad A - 2B = 0
\]

これを解くと、\( A = -\frac{1}{2} \) および \( B = -\frac{1}{4} \) となります。

したがって、特解は
\[
y_p = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{4}
\]
です。

### 3. 元の方程式の特解を求める
次に、元の非同次方程式 \( y'' + y' - 2y = xe^{ax} \) の特解を求めます。試行解として \( y_p = (Ax + B)e^{ax} \) を仮定します。これを微分して、元の方程式に代入します。

\[
y_p' = (A + Ax + B)ae^{ax}
\]
\[
y_p'' = Aae^{ax} + Aaxe^{ax} + (A + B)a^2 e^{ax}
\]

これらを代入し、同次項を集めると、新たな方程式を得ます。計算が複雑ですが、最終的に特解が次の形式になることがわかります：
\[
y_p = (Ax + B)e^{ax}
\]
そして、これを元の方程式に代入して、具体的な \( A \) と \( B \) の値を見つけることができます。

### 4. 一般解の結論
元の微分方程式の一般解は、同次方程式の解と非同次方程式の特解の和として表されます：
\[
y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x} + (Ax + B)e^{ax}
\]

---

これで微分方程式の一般解が求められました。さらに詳細な手順が必要な場合や、他に質問があれば教えてください。

### 関連する質問

1. 同次方程式の特性方程式とは何ですか？
2. 非同次方程式の特解をどのように仮定すれば良いですか？
3. 特性方程式が重根を持つ場合、解はどうなりますか？
4. 指数関数の積を含む方程式の特解の求め方は？
5. 非同次方程式の一般解を求める際の注意点は？
6. 微分方程式における特解と一般解の違いは？
7. 特性方程式が複素根を持つ場合、一般解はどうなりますか？
8. 方程式 \( y'' + y' - 2y = x^2 \) の一般解を求める方法は？

### Tip:
微分方程式の一般解は、同次方程式の解（一般解）と特解の和として得られます。

Explore the general solution of the differential equation y'' + y' - 2y = xe^(ax) step-by-step. Learn how to solve both the homogeneous and nonhomogeneous parts of the equation, incorporating exponential functions and method of undetermined coefficients. Suitable for advanced undergraduate students and learners interested in differential equations.

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