演算子法を用いて、微分方程式 $y'' + y' - 2y = xe^{ax}$ の一般解を求める方法を説明します。

1. 演算子形式で表現

まず、微分方程式を演算子 $D$ を用いて表現します。ここで $D$ は微分演算子であり、 $D = \frac{d}{dx}$ とします。

与えられた方程式は次のように書き換えられます： $(D^2 + D - 2)y = xe^{ax}$

2. 同次方程式の解を求める

まず、対応する同次方程式 $(D^2 + D - 2)y = 0$ を解きます。この場合、方程式は $(D - 1)(D + 2)y = 0$

したがって、同次方程式の解は次のようになります： $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}$

3. 特解を求める

次に、非同次方程式 $(D^2 + D - 2)y = xe^{ax}$ の特解 $y_p$ を求めます。

一般的に、特解は強制項 $xe^{ax}$ に基づいて推定されます。ここで、$D$ を $D = a$ として、方程式における $xe^{ax}$ の部分を処理します。

まず、演算子法における $(D - 1)(D + 2)$ の作用を以下のように考えます： $(D - 1)(D + 2) = (a - 1)(a + 2)$

したがって、特解は以下のように書くことができます： $y_p = \frac{1}{(D - 1)(D + 2)} xe^{ax}$

ここで、右辺を計算するには、$xe^{ax}$ の形に対して特定の解を求める必要があります。試行解として $y_p = (Ax + B)e^{ax}$ を仮定します。

4. 試行解の代入と特解の決定

試行解を微分して元の方程式に代入し、係数を比較することで $A$ と $B$ の値を決定します。

試行解: $y_p = (Ax + B)e^{ax}$ 微分: $y_p' = (A + Ax + B)ae^{ax} + Ae^{ax}$ $y_p'' = Aae^{ax} + (A + B)a^2e^{ax} + Aaxe^{ax}$

これを方程式 $(D^2 + D - 2)y = xe^{ax}$ に代入し、係数を比較して $A$ と $B$ の値を求めます。

5. 一般解

最終的に、元の方程式の一般解は同次方程式の解 $y_h$ と非同次方程式の特解 $y_p$ の和として次のようになります： $y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x} + (Ax + B)e^{ax}$

具体的な $A$ と $B$ の値は、強制項 $xe^{ax}$ に基づいて決まります。

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これで、演算子法を用いた微分方程式の一般解の求め方が示されました。さらに詳細な手順が必要な場合や、他に質問があれば教えてください。

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2. 演算子法を用いるメリットは何ですか？
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5. 強制項 $xe^{ax}$ に対する試行解の選び方は？
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Tip:

演算子法は、微分方程式の解を系統的に見つけるための強力なツールです。特に、非同次項が指数関数や多項式の場合に有効です。