aを実数とし、y''+y'-2y=xe^(ax)とするとき、演算子法を用いて一般解を求めよ。


演算子法を用いて、微分方程式 \( y'' + y' - 2y = xe^{ax} \) の一般解を求める方法を説明します。

### 1. 演算子形式で表現
まず、微分方程式を演算子 \( D \) を用いて表現します。ここで \( D \) は微分演算子であり、 \( D = \frac{d}{dx} \) とします。

与えられた方程式は次のように書き換えられます：
\[
(D^2 + D - 2)y = xe^{ax}
\]

### 2. 同次方程式の解を求める
まず、対応する同次方程式 \( (D^2 + D - 2)y = 0 \) を解きます。この場合、方程式は
\[
(D - 1)(D + 2)y = 0
\]

したがって、同次方程式の解は次のようになります：
\[
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-2x}
\]

### 3. 特解を求める
次に、非同次方程式 \( (D^2 + D - 2)y = xe^{ax} \) の特解 \( y_p \) を求めます。

一般的に、特解は強制項 \( xe^{ax} \) に基づいて推定されます。ここで、\( D \) を \( D = a \) として、方程式における \( xe^{ax} \) の部分を処理します。

まず、演算子法における \( (D - 1)(D + 2) \) の作用を以下のように考えます：
\[
(D - 1)(D + 2) = (a - 1)(a + 2)
\]

したがって、特解は以下のように書くことができます：
\[
y_p = \frac{1}{(D - 1)(D + 2)} xe^{ax}
\]

ここで、右辺を計算するには、\( xe^{ax} \) の形に対して特定の解を求める必要があります。試行解として \( y_p = (Ax + B)e^{ax} \) を仮定します。

### 4. 試行解の代入と特解の決定
試行解を微分して元の方程式に代入し、係数を比較することで \( A \) と \( B \) の値を決定します。

試行解:
\[
y_p = (Ax + B)e^{ax}
\]
微分:
\[
y_p' = (A + Ax + B)ae^{ax} + Ae^{ax}
\]
\[
y_p'' = Aae^{ax} + (A + B)a^2e^{ax} + Aaxe^{ax}
\]

これを方程式 \( (D^2 + D - 2)y = xe^{ax} \) に代入し、係数を比較して \( A \) と \( B \) の値を求めます。

### 5. 一般解
最終的に、元の方程式の一般解は同次方程式の解 \( y_h \) と非同次方程式の特解 \( y_p \) の和として次のようになります：
\[
y = C_1 e^x + C_2 e^{-2x} + (Ax + B)e^{ax}
\]

具体的な \( A \) と \( B \) の値は、強制項 \( xe^{ax} \) に基づいて決まります。

---

これで、演算子法を用いた微分方程式の一般解の求め方が示されました。さらに詳細な手順が必要な場合や、他に質問があれば教えてください。

### 関連する質問

1. 演算子法とは何ですか？
2. 演算子法を用いるメリットは何ですか？
3. 演算子 \( D \) の役割は何ですか？
4. 演算子法で特解を求める際の一般的な手順は？
5. 強制項 \( xe^{ax} \) に対する試行解の選び方は？
6. 同次方程式と非同次方程式の違いは？
7. 複素数解を持つ場合の演算子法の適用方法は？
8. 演算子法を用いた他の微分方程式の解法例は？

### Tip:
演算子法は、微分方程式の解を系統的に見つけるための強力なツールです。特に、非同次項が指数関数や多項式の場合に有効です。

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