برای پیدا کردن نقطه‌ای روی خط $y = 2x$ که فاصله آن از دو نقطه $A(1, 1)$ و $B(3, -1)$ برابر باشد، باید این نقطه را به صورت $(x, 2x)$ در نظر بگیریم و فاصله‌های این نقطه را از نقاط A و B محاسبه و برابر قرار دهیم.

فرض کنیم نقطه $P$ روی خط $y = 2x$ باشد، یعنی $P (x, 2x)$. فاصله $P$ از $A(1, 1)$ و $B(3, -1)$ باید برابر باشد.

فاصله $P(x, 2x)$ از $A(1, 1)$: $\text{Distance}_{PA} = \sqrt{(x - 1)^2 + (2x - 1)^2}$

فاصله $P(x, 2x)$ از $B(3, -1)$: $\text{Distance}_{PB} = \sqrt{(x - 3)^2 + (2x + 1)^2}$

با توجه به برابر بودن فاصله‌ها، داریم: $\sqrt{(x - 1)^2 + (2x - 1)^2} = \sqrt{(x - 3)^2 + (2x + 1)^2}$

برای ساده‌تر کردن، مربع دو طرف معادله را می‌گیریم: $(x - 1)^2 + (2x - 1)^2 = (x - 3)^2 + (2x + 1)^2$

محاسبه می‌کنیم: $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$ $(2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1$

معادله به صورت زیر می‌شود: $x^2 - 2x + 1 + 4x^2 - 4x + 1 = x^2 - 6x + 9 + 4x^2 + 4x + 1$

ساده‌سازی: $5x^2 - 6x + 2 = 5x^2 - 2x + 10$

حذف $5x^2$ از هر دو طرف: $-6x + 2 = -2x + 10$

حل برای $x$: $-6x + 2 = -2x + 10$ $-4x = 8$ $x = -2$

با توجه به اینکه نقطه $P$ روی خط $y = 2x$ است: $y = 2(-2) = -4$

بنابراین نقطه‌ای که فاصله‌اش از $A$ و $B$ برابر است، $(-2, -4)$ می‌باشد.

آیا نیاز به جزئیات بیشتری دارید یا سوال دیگری دارید؟

سوالات پیشنهادی:

1. چگونه می‌توان فاصله دو نقطه را در فضای سه بعدی محاسبه کرد؟
2. چگونه می‌توان معادله خطی را از دو نقطه یافت؟
3. چگونه می‌توان نقطه تقاطع دو خط را پیدا کرد؟
4. چگونه می‌توان مختصات قطبی یک نقطه را به مختصات کارتزین تبدیل کرد؟
5. چگونه می‌توان معادله دایره را از نقطه و شعاع یافت؟

نکته: هنگام حل معادلات شامل جذر، با دقت مربع گرفتن از دو طرف معادله را انجام دهید تا اشتباهات محاسباتی رخ ندهد.