encontrar la solución de la ecuación diferencial y^(4) − 2y" + y = xe^x

La ecuación diferencial dada es:

\[
y^{(4)} - 2y'' + y = xe^x
\]

Para resolver esta ecuación diferencial de cuarto orden no homogénea, seguimos los siguientes pasos:

### 1. Resolver la ecuación homogénea asociada

La ecuación homogénea asociada es:

\[
y^{(4)} - 2y'' + y = 0
\]

Primero, proponemos una solución de la forma \( y = e^{rx} \). Sustituyendo en la ecuación homogénea obtenemos la ecuación característica:

\[
r^4 - 2r^2 + 1 = 0
\]

Esta es una ecuación cuadrática en términos de \( r^2 \). Hacemos el cambio de variable \( z = r^2 \), lo que nos da:

\[
z^2 - 2z + 1 = 0
\]

Resolvemos esta ecuación cuadrática:

\[
(z - 1)^2 = 0
\]

Esto nos da \( z = 1 \), por lo tanto, \( r^2 = 1 \) y de aquí obtenemos dos soluciones dobles para \( r \):

\[
r = \pm 1
\]

Dado que \( r = 1 \) y \( r = -1 \) son soluciones repetidas, la solución general de la ecuación homogénea es:

\[
y_h(x) = (C_1 + C_2 x)e^x + (C_3 + C_4 x)e^{-x}
\]

### 2. Encontrar la solución particular

Para la parte no homogénea \( xe^x \), probamos una solución particular de la forma:

\[
y_p(x) = (Ax^2 + Bx)e^x
\]

Sustituimos \( y_p(x) \) en la ecuación original para determinar los coeficientes \( A \) y \( B \).

Primero, calculamos las derivadas necesarias de \( y_p(x) \):

- \( y_p' = (2Ax + B + Ax^2)e^x \)
- \( y_p'' = (2A + 4Ax + Bx + Ax^2)e^x \)
- \( y_p^{(3)} = (6A + 6Ax + 2Bx + Ax^2)e^x \)
- \( y_p^{(4)} = (6A + 8Ax + 2Bx)e^x \)

Sustituimos en la ecuación diferencial original:

\[
(6A + 8Ax + 2Bx)e^x - 2(2A + 4Ax + Bx)e^x + (Ax^2 + Bx)e^x = xe^x
\]

Agrupando términos con \( e^x \) y comparando con el lado derecho \( xe^x \), obtenemos el sistema de ecuaciones:

- Para \( x^2 \): \( A = 0 \)
- Para \( x \): \( 2B = 1 \), por lo tanto, \( B = \frac{1}{2} \)
- Para los términos constantes: \( 6A - 4B = 0 \), pero esto ya está satisfecho.

Por lo tanto, la solución particular es:

\[
y_p(x) = \frac{x}{2}e^x
\]

### 3. Solución general

La solución general de la ecuación diferencial es la suma de la solución homogénea y la particular:

\[
y(x) = (C_1 + C_2 x)e^x + (C_3 + C_4 x)e^{-x} + \frac{x}{2}e^x
\]

### ¿Tienes alguna pregunta o te gustaría más detalles sobre algún paso? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se resuelve una ecuación diferencial con coeficientes constantes?
2. ¿Qué significa tener soluciones repetidas en una ecuación diferencial?
3. ¿Por qué se elige una solución particular de la forma \( (Ax^2 + Bx)e^x \)?
4. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas?
5. ¿Cómo se puede verificar si la solución encontrada es correcta?

**Tip**: Siempre revisa los pasos de diferenciación para asegurar que los cálculos sean precisos.

Discover how to solve the fourth-order non-homogeneous differential equation y^(4) − 2y" + y = xe^x. This solution involves solving the homogeneous equation, finding the characteristic equation, and determining a particular solution using the method of undetermined coefficients. Ideal for undergraduate-level calculus or differential equations students.

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