已知锐角$$ \alpha $$满足$$ \tan $$$$ \alpha $$=$$ x $$, 用$$ x $$表示$$ \sin $$$$ \alpha $$, $$ \cos $$$$ \alpha\text{.} $$$$  $$$$  $$

已知锐角 $ \alpha $ 满足 $ \tan \alpha = x $，用 $ x $ 表示 $ \sin \alpha $ 和 $ \cos \alpha $。

我们知道：
\[
\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = x
\]

我们可以引入一个辅助变量，将其表示为直角三角形中的各边长度。假设直角三角形中，角 $ \alpha $ 的对边为 $ a $，邻边为 $ b $，斜边为 $ c $。根据定义：
\[
\tan \alpha = \frac{a}{b} = x
\]
所以我们可以设 $ a = xk $ 和 $ b = k $，其中 $ k $ 是一个常数。

接下来，利用勾股定理：
\[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(xk)^2 + k^2} = k\sqrt{x^2 + 1}
\]

因此，斜边 $ c = k\sqrt{x^2 + 1} $。

接下来分别表示 $ \sin \alpha $ 和 $ \cos \alpha $：
\[
\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{xk}{k\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
\]
\[
\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{k}{k\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}
\]

总结，用 $ x $ 表示 $ \sin \alpha $ 和 $ \cos \alpha $：
\[
\sin \alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}
\]
\[
\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}
\]

是否需要详细解释或有任何疑问？

可以尝试以下问题：
1. 如何用 $\cos \alpha$ 表示 $\sin \alpha$？
2. 若已知 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$，如何求 $\tan \alpha$？
3. 证明 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$。
4. 如何利用三角恒等式求解三角形的边长？
5. 在三角形中如何应用勾股定理？

**提示:** 在处理三角函数时，掌握基本的三角恒等式非常重要，例如 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$。

Learn how to solve a trigonometric problem where the angle $ \alpha $ satisfies $ \tan \alpha = x $. Discover how to express $ \sin \alpha $ and $ \cos \alpha $ in terms of $ x $ using right triangle trigonometry and trigonometric identities. Suitable for high school students.

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