已知锐角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha = x$，用 $x$ 表示 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$。

我们知道： $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = x$

我们可以引入一个辅助变量，将其表示为直角三角形中的各边长度。假设直角三角形中，角 $\alpha$ 的对边为 $a$，邻边为 $b$，斜边为 $c$。根据定义： $\tan \alpha = \frac{a}{b} = x$ 所以我们可以设 $a = xk$ 和 $b = k$，其中 $k$ 是一个常数。

接下来，利用勾股定理： $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(xk)^2 + k^2} = k\sqrt{x^2 + 1}$

因此，斜边 $c = k\sqrt{x^2 + 1}$。

接下来分别表示 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$： $\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{xk}{k\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ $\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{k}{k\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

总结，用 $x$ 表示 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$： $\sin \alpha = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

是否需要详细解释或有任何疑问？

可以尝试以下问题：

1. 如何用 $\cos \alpha$ 表示 $\sin \alpha$？
2. 若已知 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$，如何求 $\tan \alpha$？
3. 证明 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$。
4. 如何利用三角恒等式求解三角形的边长？
5. 在三角形中如何应用勾股定理？

提示: 在处理三角函数时，掌握基本的三角恒等式非常重要，例如 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$。