Escrever a equação da recta tangente e da normal a curva f(x) =x^3 -2x na abcissa 0

Para encontrar as equações da reta tangente e da reta normal à curva \( f(x) = x^3 - 2x \) na abcissa \( x = 0 \), precisamos seguir os seguintes passos:

### 1. Encontrar o valor da função em \( x = 0 \)
Primeiro, substituímos \( x = 0 \) na função \( f(x) \) para encontrar o ponto de tangência:
\[ f(0) = 0^3 - 2 \cdot 0 = 0 \]
Portanto, o ponto de tangência é \( (0, 0) \).

### 2. Calcular a derivada da função
A derivada de \( f(x) \) nos dá a inclinação da reta tangente. Calculamos a derivada:
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x) = 3x^2 - 2 \]

### 3. Avaliar a derivada em \( x = 0 \)
Substituímos \( x = 0 \) na derivada para encontrar a inclinação da reta tangente:
\[ f'(0) = 3 \cdot 0^2 - 2 = -2 \]

### 4. Equação da reta tangente
A equação da reta tangente em um ponto \( (x_0, y_0) \) com inclinação \( m \) é dada por:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
Substituindo \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0 \), e \( m = -2 \):
\[ y - 0 = -2(x - 0) \]
\[ y = -2x \]

### 5. Equação da reta normal
A reta normal à curva em um ponto é perpendicular à reta tangente. A inclinação de uma reta perpendicular a uma reta com inclinação \( m \) é \( -\frac{1}{m} \). Então, a inclinação da reta normal é:
\[ m_{\text{normal}} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2} \]

A equação da reta normal é dada por:
\[ y - y_0 = m_{\text{normal}}(x - x_0) \]
Substituindo \( x_0 = 0 \), \( y_0 = 0 \), e \( m_{\text{normal}} = \frac{1}{2} \):
\[ y - 0 = \frac{1}{2}(x - 0) \]
\[ y = \frac{1}{2}x \]

### Resultados
- A equação da reta tangente à curva \( f(x) = x^3 - 2x \) na abcissa \( x = 0 \) é:
  \[ y = -2x \]
- A equação da reta normal à curva \( f(x) = x^3 - 2x \) na abcissa \( x = 0 \) é:
  \[ y = \frac{1}{2}x \]

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas que você pode fazer:

1. Como encontrar a equação da reta tangente para outras funções em diferentes pontos?
2. O que são derivadas parciais e como são calculadas?
3. Como resolver uma equação diferencial de segunda ordem?
4. O que é a regra de L'Hôpital e quando é utilizada?
5. Pode explicar a diferença entre derivada e diferencial?

**Dica:** Ao encontrar a reta normal a uma curva, lembre-se sempre que a inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da reta tangente.

Aprenda a encontrar a equação da reta tangente e da reta normal à curva f(x) = x^3 - 2x na abcissa x = 0. Este problema envolve cálculo diferencial, incluindo a derivada da função e a equação da reta em um ponto. Adequado para estudantes do ensino médio.

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