Calcule usando a definição de derivada 
f(x)= sqrt{2x} para x = 2

Para calcular a derivada de \( f(x) = \sqrt{2x} \) no ponto \( x = 2 \) usando a definição de derivada, seguimos o seguinte procedimento:

A definição da derivada de uma função \( f(x) \) em um ponto \( a \) é dada por:
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]

Para \( f(x) = \sqrt{2x} \) e \( a = 2 \), temos:
\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2(2+h)} - \sqrt{4}}{h} \]

Simplificando:
\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + 2h} - 2}{h} \]

Para resolver esse limite, multiplicamos o numerador e o denominador pela conjugada do numerador:
\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{4 + 2h} - 2}{h} \cdot \frac{\sqrt{4 + 2h} + 2}{\sqrt{4 + 2h} + 2} \]
\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(4 + 2h) - 4}{h(\sqrt{4 + 2h} + 2)} \]
\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{4 + 2h} + 2)} \]
\[ f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{4 + 2h} + 2} \]

Agora, ao tomar o limite quando \( h \to 0 \):
\[ f'(2) = \frac{2}{\sqrt{4} + 2} \]
\[ f'(2) = \frac{2}{2 + 2} \]
\[ f'(2) = \frac{2}{4} \]
\[ f'(2) = \frac{1}{2} \]

Portanto, a derivada de \( f(x) = \sqrt{2x} \) no ponto \( x = 2 \) é \( f'(2) = \frac{1}{2} \).

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas que você pode fazer:

1. Como se calcula a integral de uma função?
2. O que é a regra do produto na diferenciação?
3. Pode explicar a regra da cadeia na derivação?
4. Como resolver uma equação diferencial simples?
5. O que é a série de Taylor de uma função?

**Dica:** Quando estiver lidando com limites, multiplicar pelo conjugado pode ajudar a simplificar expressões envolvendo raízes quadradas.

Learn how to calculate the derivative of f(x) = sqrt(2x) at x = 2 using the definition of derivative. This problem involves the limit definition of derivative and the square root function. Suitable for advanced high school and undergraduate students.

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