найдите значение выражения ctg2a если sina= 1/5

Для нахождения значения выражения \(\cot(2a)\), если \(\sin(a) = \frac{1}{5}\), нам нужно воспользоваться тригонометрическими тождествами.

### Шаг 1: Найдем \(\cos(a)\)
Зная, что \(\sin(a) = \frac{1}{5}\), можем использовать основное тригонометрическое тождество:
\[
\sin^2(a) + \cos^2(a) = 1
\]
Подставим значение \(\sin(a)\):
\[
\left(\frac{1}{5}\right)^2 + \cos^2(a) = 1
\]
\[
\frac{1}{25} + \cos^2(a) = 1
\]
\[
\cos^2(a) = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}
\]
Следовательно, \(\cos(a) = \pm \frac{\sqrt{24}}{5} = \pm \frac{2\sqrt{6}}{5}\).

Знак \(\cos(a)\) зависит от того, в каком квадранте находится угол \(a\), но пока не указано, будем рассматривать оба случая.

### Шаг 2: Выражение для \(\cot(2a)\)
Используем тождество для двойного угла:
\[
\cot(2a) = \frac{1 - \tan^2(a)}{2\tan(a)}
\]
Для этого нужно найти \(\tan(a)\). Поскольку \(\tan(a) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)}\), то:
\[
\tan(a) = \frac{\frac{1}{5}}{\pm \frac{2\sqrt{6}}{5}} = \pm \frac{1}{2\sqrt{6}} = \pm \frac{\sqrt{6}}{12}
\]

### Шаг 3: Найдем \(\cot(2a)\)
Теперь подставим значение \(\tan(a)\) в выражение для \(\cot(2a)\):
\[
\cot(2a) = \frac{1 - \left(\pm \frac{\sqrt{6}}{12}\right)^2}{2 \cdot \left(\pm \frac{\sqrt{6}}{12}\right)} = \frac{1 - \frac{6}{144}}{2 \cdot \frac{\sqrt{6}}{12}} = \frac{1 - \frac{1}{24}}{\frac{\sqrt{6}}{6}} = \frac{\frac{23}{24}}{\frac{\sqrt{6}}{6}}
\]
\[
\cot(2a) = \frac{23}{24} \cdot \frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{23}{4\sqrt{6}} = \frac{23\sqrt{6}}{24}
\]

Таким образом, \(\cot(2a) = \frac{23\sqrt{6}}{24}\).

Хочешь узнать больше о шагах или о дополнительных примерах?

Вот 5 вопросов для дальнейшего изучения:
1. Как найти значение \(\tan(2a)\), если известно \(\sin(a)\)?
2. Как изменится решение, если \(\cos(a)\) отрицателен?
3. Какие еще тригонометрические тождества для двойного угла ты знаешь?
4. Как решить подобную задачу для других угловых функций (например, \(\sec(2a)\))?
5. Как определить в каком квадранте находится угол \(a\), если дано \(\sin(a)\)?

**Совет:** Всегда проверяй знак функции косинуса в зависимости от квадранта угла \(a\).

Найдите значение выражения ctg(2a) если sin(a) = 1/5

Learn how to find the value of cot(2a) when sin(a) = 1/5 using trigonometric identities such as the Pythagorean identity and double-angle formulas. This detailed solution walks through finding cos(a), tan(a), and cot(2a), making it ideal for high school students in grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation