Α. Να υπολογίσετε το όριο lim x²-16 x+4x²-2x-8

Για να υπολογίσουμε το όριο της έκφρασης \(\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 16x + 4}{x^2 - 2x - 8}\), θα ακολουθήσουμε τα εξής βήματα:

1. **Απλοποίηση της έκφρασης**:
   \[
   \frac{x^2 - 16x + 4}{x^2 - 2x - 8}
   \]

2. **Διαίρεση του αριθμητή και του παρανομαστή με τον υψηλότερο όρο \(x^2\)**:
   \[
   \frac{x^2 - 16x + 4}{x^2 - 2x - 8} = \frac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{16x}{x^2} + \frac{4}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} - \frac{2x}{x^2} - \frac{8}{x^2}} = \frac{1 - \frac{16}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^2}}
   \]

3. **Όριο όταν \(x \to \infty\)**:
   \[
   \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{16}{x} + \frac{4}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^2}}
   \]
   Καθώς \(x \to \infty\), οι όροι \(\frac{16}{x}\), \(\frac{4}{x^2}\), \(\frac{2}{x}\) και \(\frac{8}{x^2}\) τείνουν στο μηδέν.

4. **Απλοποίηση του ορίου**:
   \[
   \lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0 + 0}{1 - 0 - 0} = \frac{1}{1} = 1
   \]

Άρα, το όριο της έκφρασης είναι 1.

Θέλετε λεπτομέρειες ή έχετε άλλες ερωτήσεις;

Ερωτήσεις που μπορείτε να κάνετε:
1. Πώς υπολογίζεται το όριο μίας συνάρτησης στο άπειρο;
2. Πώς αντιμετωπίζουμε όρια που περιέχουν ρίζες;
3. Πώς βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία μίας συνάρτησης;
4. Πώς επιλύουμε μία συνάρτηση που εμπεριέχει εκθετικές συναρτήσεις;
5. Ποια είναι η διαδικασία απλοποίησης μιας σύνθετης κλασματικής συνάρτησης;

**Συμβουλή:** Όταν αντιμετωπίζετε όρια που περιέχουν πολυώνυμα, προσπαθήστε να διαιρέσετε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με τον υψηλότερο όρο για να απλοποιήσετε τον υπολογισμό.

Learn how to compute the limit of the expression (x^2 - 16x + 4) / (x^2 - 2x - 8) as x approaches infinity. This problem involves understanding limits, polynomial simplification, and asymptotic behavior. Suitable for students in Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation