buktikan: cotan⁴a (1-cos⁴a) - 2cotan²a = 1

Untuk membuktikan persamaan \( \cot^4a(1 - \cos^4a) - 2\cot^2a = 1 \), mari kita mulai dengan melakukan manipulasi aljabar dan substitusi identitas trigonometri yang relevan.

### Langkah-langkah:
1. Ingat bahwa \( \cot a = \frac{\cos a}{\sin a} \), maka \( \cot^2 a = \frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \).
2. Kita substitusi identitas ini ke dalam persamaan.

\[
\cot^4a(1 - \cos^4a) - 2\cot^2a = 1
\]
berubah menjadi:
\[
\left( \frac{\cos^4 a}{\sin^4 a} \right)(1 - \cos^4 a) - 2\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = 1
\]

3. Sekarang, kita kembangkan ekspresi dalam tanda kurung \( (1 - \cos^4 a) \):

\[
= \frac{\cos^4 a}{\sin^4 a}(1 - \cos^4 a) = \frac{\cos^4 a - \cos^8 a}{\sin^4 a}
\]

Sehingga persamaannya menjadi:

\[
\frac{\cos^4 a - \cos^8 a}{\sin^4 a} - 2\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} = 1
\]

4. Kita samakan penyebut:

Ubah \( 2\frac{\cos^2 a}{\sin^2 a} \) menjadi \( \frac{2\cos^2 a \sin^2 a}{\sin^4 a} \), sehingga persamaan menjadi:

\[
\frac{\cos^4 a - \cos^8 a}{\sin^4 a} - \frac{2\cos^2 a \sin^2 a}{\sin^4 a} = 1
\]

5. Gabungkan pecahan menjadi satu:

\[
\frac{\cos^4 a - \cos^8 a - 2\cos^2 a \sin^2 a}{\sin^4 a} = 1
\]

6. Sederhanakan pembilang:

Kita ketahui bahwa \( \cos^8 a \) dan \( 2\cos^2 a \sin^2 a \) adalah bentuk yang bisa disederhanakan dengan menggunakan identitas trigonometri.

Namun, pada langkah ini, saya melihat ada kesalahan dalam langkah substitusi awal atau dalam manipulasi trigonometri. Izinkan saya mengoreksi lebih lanjut atau mengganti teknik solusi.

Jika ada kesalahan dalam langkah penjelasan

This problem involves proving the trigonometric identity cot^4(a)(1 - cos^4(a)) - 2cot^2(a) = 1. Using trigonometric identities and algebraic manipulation, the solution covers concepts such as cotangent, cosine, and the Pythagorean Identity. Suitable for Grades 10-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation