Sí, es posible resolver la ecuación $z^2 - 3 + 4i = 0$ utilizando coordenadas polares. Aquí te explico cómo hacerlo:

1. Reescribir la ecuación: $z^2 = 3 - 4i$

2. Expresar el lado derecho en forma polar: La forma polar de un número complejo $re^{i\theta}$ requiere encontrar el módulo $r$ y el ángulo $\theta$. $r = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ $\theta = \arctan\left(\frac{-4}{3}\right)$

   Calculamos $\theta$: $\theta \approx \arctan\left(\frac{-4}{3}\right) \approx -0.93 \text{ radianes}$

   Así que: $3 - 4i = 5e^{i(-0.93)}$

3. Tomar la raíz cuadrada en coordenadas polares: Al tomar la raíz cuadrada de un número complejo en forma polar $re^{i\theta}$, se toma la raíz cuadrada del módulo y se divide el ángulo por 2. Además, hay dos soluciones porque la función cuadrática tiene dos raíces: $z = \sqrt{5}e^{i(-0.93/2)}$ y $z = \sqrt{5}e^{i(-0.93/2 + \pi)}$

   Calculemos estas raíces: $z_1 = \sqrt{5}e^{i(-0.465)} = \sqrt{5} \left( \cos(-0.465) + i\sin(-0.465) \right)$ $z_2 = \sqrt{5}e^{i(-0.465 + \pi)} = \sqrt{5} \left( \cos(-0.465 + \pi) + i\sin(-0.465 + \pi) \right)$

4. Convertir las soluciones a la forma rectangular: $z_1 = \sqrt{5} \left( \cos(-0.465) + i\sin(-0.465) \right) \approx \sqrt{5} \left( 0.894 + i(-0.447) \right)$ $z_1 \approx 2 - i$

   $z_2 = \sqrt{5} \left( \cos(-0.465 + \pi) + i\sin(-0.465 + \pi) \right) \approx \sqrt{5} \left( -0.894 + i(0.447) \right)$ $z_2 \approx -2 + i$

Entonces, las soluciones a la ecuación $z^2 - 3 + 4i = 0$ usando coordenadas polares son $\boxed{2 - i \text{ y } -2 + i}$.

¿Quieres detalles o tienes alguna pregunta?

Aquí hay cinco preguntas que podrías hacer:

1. ¿Cómo se calcula el ángulo $\theta$ para un número complejo?
2. ¿Cómo se convierte de coordenadas polares a rectangulares?
3. ¿Cuál es la fórmula para tomar raíces cuadradas de números complejos en forma polar?
4. ¿Cómo se representan gráficamente los números complejos en el plano complejo?
5. ¿Cuál es la importancia de las raíces de ecuaciones complejas en aplicaciones prácticas?

Consejo: Practicar la conversión entre formas rectangular y polar de números complejos ayuda a entender mejor sus propiedades y facilita la resolución de problemas complejos.