Α. Να υπολογίσετε το όριο lim x²-16 x+4x²-2x-8

Για να υπολογίσουμε το όριο της συνάρτησης \(\lim_{x \to α} \frac{x^2 - 16}{x + 4x^2 - 2x - 8}\), πρέπει πρώτα να βρούμε το σημείο στο οποίο το όριο πρέπει να υπολογιστεί. Εδώ φαίνεται ότι έχουμε κάποιες διορθώσεις να κάνουμε στη γραφή της συνάρτησης.

Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι \(\frac{x^2 - 16}{x + 4x^2 - 2x - 8}\). Πρέπει να απλοποιήσουμε την έκφραση και να βρούμε το όριο όταν \(x\) τείνει σε ένα συγκεκριμένο σημείο (π.χ. το άπειρο ή ένα συγκεκριμένο αριθμό).

Ας υποθέσουμε ότι ψάχνουμε το όριο όταν \(x\) τείνει στο άπειρο:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 16}{x + 4x^2 - 2x - 8}
\]

Μπορούμε να διαιρέσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με \(x^2\):
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^2 - 16}{x^2}}{\frac{x + 4x^2 - 2x - 8}{x^2}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1 - \frac{16}{x^2}}{\frac{x}{x^2} + 4 - \frac{2}{x} - \frac{8}{x^2}}
\]

Καθώς \(x\) τείνει στο άπειρο, οι όροι \(\frac{16}{x^2}\), \(\frac{x}{x^2}\), \(\frac{2}{x}\), και \(\frac{8}{x^2}\) τείνουν στο 0:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{1 - 0}{0 + 4 - 0 - 0} = \frac{1}{4}
\]

Έτσι, το όριο είναι:
\[
\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 16}{x + 4x^2 - 2x - 8} = \frac{1}{4}
\]

Εάν αναζητάτε το όριο σε άλλο σημείο, παρακαλώ δώστε περισσότερες λεπτομέρειες για να βοηθήσω περαιτέρω.

Θέλετε λεπτομέρειες ή έχετε άλλες ερωτήσεις;

Μπορείτε να ρωτήσετε τα εξής:
1. Πώς υπολογίζεται το όριο μιας συνάρτησης στο μηδέν;
2.

Explore how to compute the limit of the rational function (x^2 - 16) / (x + 4x^2 - 2x - 8). This problem involves understanding limits, rational functions, and their behavior as x approaches infinity. Suitable for advanced high school students and those studying calculus.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation