Para encontrar la ecuación de una circunferencia que pasa por tres puntos dados, necesitamos utilizar la forma general de la ecuación de una circunferencia:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

donde $D$, $E$ y $F$ son constantes que debemos determinar. Para esto, sustituimos los puntos dados $A(3, 5)$, $B(2, -8)$, y $C(3, 2)$ en la ecuación de la circunferencia.

Paso 1: Sustituir los puntos en la ecuación general

Para el punto $A(3, 5)$: $3^2 + 5^2 + 3D + 5E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 34 + 3D + 5E + F = 0$ $3D + 5E + F = -34 \quad \text{(Ecuación 1)}$

Para el punto $B(2, -8)$: $2^2 + (-8)^2 + 2D + (-8)E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 4 + 64 + 2D - 8E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 68 + 2D - 8E + F = 0$ $2D - 8E + F = -68 \quad \text{(Ecuación 2)}$

Para el punto $C(3, 2)$: $3^2 + 2^2 + 3D + 2E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 9 + 4 + 3D + 2E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 13 + 3D + 2E + F = 0$ $3D + 2E + F = -13 \quad \text{(Ecuación 3)}$

Paso 2: Resolver el sistema de ecuaciones

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

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