Vamos a resolver el ejercicio para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3) y C(1,3).

Paso 1: Ecuación general de la circunferencia

La ecuación general de una circunferencia es:

$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$

Donde $D$, $E$ y $F$ son constantes que necesitamos determinar.

Paso 2: Sustitución de los puntos en la ecuación

Sabemos que la circunferencia pasa por los puntos $A(2,0)$, $B(2,3)$ y $C(1,3)$. Esto significa que al sustituir las coordenadas de cada punto en la ecuación de la circunferencia, debemos obtener tres ecuaciones con tres incógnitas: $D$, $E$ y $F$.

1. Sustituyendo $A(2,0)$ en la ecuación:

$2^2 + 0^2 + D(2) + E(0) + F = 0$ $4 + 2D + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 2D + F = -4 \quad (1)$

2. Sustituyendo $B(2,3)$ en la ecuación:

$2^2 + 3^2 + D(2) + E(3) + F = 0$ $4 + 9 + 2D + 3E + F = 0$ $13 + 2D + 3E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 2D + 3E + F = -13 \quad (2)$

3. Sustituyendo $C(1,3)$ en la ecuación:

$1^2 + 3^2 + D(1) + E(3) + F = 0$ $1 + 9 + D + 3E + F = 0$ $10 + D + 3E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad D + 3E + F = -10 \quad (3)$

Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

1. $2D + F = -4$
2. $2D + 3E + F = -13$
3. $D + 3E + F = -10$

Restamos la ecuación (1) de la (2) para eliminar $F$:

$(2D + 3E + F) - (2D + F) = -13 - (-4)$ $3E = -9 \quad \Rightarrow \quad E = -3$

Sustituimos $E = -3$ en la ecuación (3):

$D + 3(-3) + F = -10$ $D - 9 + F = -10 \quad \Rightarrow \quad D + F = -1 \quad (4)$

Sustituimos $D + F = -1$ en la ecuación (1):

$2D + F = -4$ $2D + (-1 - D) = -4$ $D - 1 = -4 \quad \Rightarrow \quad D = -3$

Ahora sustituimos $D = -3$ en la ecuación $D + F = -1$:

$-3 + F = -1 \quad \Rightarrow \quad F = 2$

Paso 4: Ecuación de la circunferencia

Ya tenemos los valores de $D$, $E$ y $F$: $D = -3, \quad E = -3, \quad F = 2$

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

$x^2 + y^2 - 3x - 3y + 2 = 0$

Paso 5: Verificación

Podemos verificar que esta ecuación satisface las coordenadas de los puntos $A(2,0)$, $B(2,3)$ y $C(1,3)$ sustituyéndolos nuevamente en la ecuación y comprobando que el resultado sea cero.

Si tienes alguna duda o quieres más detalles, no dudes en preguntar.

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Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se puede deducir el radio de la circunferencia a partir de la ecuación encontrada?
2. ¿Qué pasaría si uno de los puntos dados no estuviera en la circunferencia?
3. ¿Cómo se transforma la ecuación general a su forma canónica?
4. ¿Qué representan geométricamente las constantes $D$, $E$ y $F$ en la circunferencia?
5. ¿Es posible determinar la circunferencia con solo dos puntos? ¿Por qué o por qué no?

Tip:

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales más rápidamente, considera usar métodos de matrices o determinantes.