**12. Halla la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas: a) Pasa por los puntos: A(2,0), B(2,3), y C(1,3)** Quiero que me ayudes con el ejercicio de matematicas, Resuélvelo de la forma correcta de manera detallado todo el procedimiento paso a paso, y explica de donde sale cada cosa y tambien menciona las fórmulas a ocupar bien estructurado todo. de una manera mucho más facil y más corto rapido de resolver. que sea un metodo mucho más facil sencilla y rapida de solucionar, claro su respuesta correcta. paso a paso bien explicado.

Vamos a resolver el ejercicio para encontrar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,0), B(2,3) y C(1,3).

### Paso 1: Ecuación general de la circunferencia
La ecuación general de una circunferencia es:

\[
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
\]

Donde \( D \), \( E \) y \( F \) son constantes que necesitamos determinar.

### Paso 2: Sustitución de los puntos en la ecuación
Sabemos que la circunferencia pasa por los puntos \( A(2,0) \), \( B(2,3) \) y \( C(1,3) \). Esto significa que al sustituir las coordenadas de cada punto en la ecuación de la circunferencia, debemos obtener tres ecuaciones con tres incógnitas: \( D \), \( E \) y \( F \).

#### 1. Sustituyendo \( A(2,0) \) en la ecuación:
\[
2^2 + 0^2 + D(2) + E(0) + F = 0
\]
\[
4 + 2D + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 2D + F = -4 \quad (1)
\]

#### 2. Sustituyendo \( B(2,3) \) en la ecuación:
\[
2^2 + 3^2 + D(2) + E(3) + F = 0
\]
\[
4 + 9 + 2D + 3E + F = 0
\]
\[
13 + 2D + 3E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad 2D + 3E + F = -13 \quad (2)
\]

#### 3. Sustituyendo \( C(1,3) \) en la ecuación:
\[
1^2 + 3^2 + D(1) + E(3) + F = 0
\]
\[
1 + 9 + D + 3E + F = 0
\]
\[
10 + D + 3E + F = 0 \quad \Rightarrow \quad D + 3E + F = -10 \quad (3)
\]

### Paso 3: Resolver el sistema de ecuaciones
Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

1. \( 2D + F = -4 \)
2. \( 2D + 3E + F = -13 \)
3. \( D + 3E + F = -10 \)

#### Restamos la ecuación (1) de la (2) para eliminar \( F \):
\[
(2D + 3E + F) - (2D + F) = -13 - (-4)
\]
\[
3E = -9 \quad \Rightarrow \quad E = -3
\]

#### Sustituimos \( E = -3 \) en la ecuación (3):
\[
D + 3(-3) + F = -10
\]
\[
D - 9 + F = -10 \quad \Rightarrow \quad D + F = -1 \quad (4)
\]

#### Sustituimos \( D + F = -1 \) en la ecuación (1):
\[
2D + F = -4
\]
\[
2D + (-1 - D) = -4
\]
\[
D - 1 = -4 \quad \Rightarrow \quad D = -3
\]

#### Ahora sustituimos \( D = -3 \) en la ecuación \( D + F = -1 \):
\[
-3 + F = -1 \quad \Rightarrow \quad F = 2
\]

### Paso 4: Ecuación de la circunferencia
Ya tenemos los valores de \( D \), \( E \) y \( F \):
\[
D = -3, \quad E = -3, \quad F = 2
\]

Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:

\[
x^2 + y^2 - 3x - 3y + 2 = 0
\]

### Paso 5: Verificación
Podemos verificar que esta ecuación satisface las coordenadas de los puntos \( A(2,0) \), \( B(2,3) \) y \( C(1,3) \) sustituyéndolos nuevamente en la ecuación y comprobando que el resultado sea cero.

Si tienes alguna duda o quieres más detalles, no dudes en preguntar.

---

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se puede deducir el radio de la circunferencia a partir de la ecuación encontrada?
2. ¿Qué pasaría si uno de los puntos dados no estuviera en la circunferencia?
3. ¿Cómo se transforma la ecuación general a su forma canónica?
4. ¿Qué representan geométricamente las constantes \( D \), \( E \) y \( F \) en la circunferencia?
5. ¿Es posible determinar la circunferencia con solo dos puntos? ¿Por qué o por qué no?

### Tip:
Para resolver sistemas de ecuaciones lineales más rápidamente, considera usar métodos de matrices o determinantes.

Halla la ecuación de la circunferencia que satisface las condiciones dadas: a) Pasa por los puntos: A(2,0), B(2,3), y C(1,3). Quiero que me ayudes con el ejercicio de matemáticas. Resuélvelo de forma correcta, detallada, y paso a paso, explicando cada paso de manera sencilla.

Find the equation of the circle passing through points A(2,0), B(2,3), and C(1,3). This step-by-step solution involves geometry concepts and solving a system of linear equations, making it ideal for students in Grades 10-12.

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