我们可以从以下几个方面来解释为什么 $A' = DAD$ 符号变化不会改变矩阵的特征值绝对值。

1. 矩阵 $D$ 的性质：

   • $D$ 是对角矩阵，对角元素为 $\pm 1$。因此，$D$ 的逆矩阵是 $D$ 本身：$D^{-1} = D$。
   • 矩阵 $D$ 也是一个正交矩阵，因为 $D D^\mathrm{T} = I$。

2. 特征值的定义：

   • 对于矩阵 $A$，如果存在非零向量 $x$ 和标量 $\lambda$，使得 $Ax = \lambda x$，那么 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$x$ 是对应的特征向量。

3. 相似矩阵的特征值：

   • 如果两个矩阵 $A$ 和 $B$ 是相似的，即存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $B = P^{-1}AP$，那么 $A$ 和 $B$ 具有相同的特征值。

4. 证明特征值绝对值不变性：

   • 考虑矩阵 $A$ 和 $A' = DAD$。我们需要证明 $A$ 和 $A'$ 的特征值绝对值相同。
   • 由于 $D$ 是对角矩阵，且 $D^{-1} = D$，所以 $A'$ 可以写成 $A' = DAD = D^{-1}AD$。

5. 特征值计算：

   • 设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $x$，即 $Ax = \lambda x$。
   • 我们考察 $A'$ 的特征值。令 $y = Dx$，则有： $A'y = DADy = DAD(Dx) = DA(Dx) = D(Ax) = D(\lambda x) = \lambda (Dx) = \lambda y$
   • 因此，$\lambda$ 也是 $A'$ 的特征值，对应的特征向量为 $y = Dx$。

6. 特征值绝对值：

   • 由于我们没有改变特征值 $\lambda$ 的大小，只是通过对角矩阵 $D$ 的符号变化改变了特征向量的符号，因此特征值的绝对值不变。

综上所述，$A'$ 和 $A$ 是相似矩阵，因为存在正交矩阵 $D$ 使得 $A' = DAD$。相似矩阵的特征值相同，因此符号变化不会改变矩阵的特征值绝对值。这就说明了为什么任意改变对称且正规的矩阵中的元素的符号不会影响矩阵的奇异值。

你有其他问题或者需要更多细节吗？这里有五个问题供你选择：

1. 如何证明两个矩阵是相似矩阵？
2. 对称矩阵和正规矩阵的区别是什么？
3. 什么是正交矩阵及其性质？
4. 奇异值与特征值的关系是什么？
5. 在数值计算中，特征值的重要性是什么？

提示： 相似矩阵在变换后保持相同的特征值，这使得矩阵分析中的许多性质得以保留。