Demuestre que los puntos A -1,-1 ( ) , B 3,2 ( ) y C 6,-2 ( ) son los vértices de un triángulo isósceles de dos formas diferentes. (sugerencia: ver sus notas de clase)

Para demostrar que los puntos \( A(-1, -1) \), \( B(3, 2) \) y \( C(6, -2) \) son los vértices de un triángulo isósceles, vamos a utilizar dos métodos diferentes: el cálculo de las distancias entre los puntos y el uso de vectores.

### Método 1: Cálculo de las distancias entre los vértices

Un triángulo es isósceles si al menos dos de sus lados son de la misma longitud. Para demostrarlo, vamos a calcular las distancias entre los tres vértices utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos:

\[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

#### 1. Distancia entre \( A \) y \( B \) (\( d_{AB} \)):

\[
d_{AB} = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{(3 + 1)^2 + (2 + 1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

#### 2. Distancia entre \( B \) y \( C \) (\( d_{BC} \)):

\[
d_{BC} = \sqrt{(6 - 3)^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

#### 3. Distancia entre \( A \) y \( C \) (\( d_{AC} \)):

\[
d_{AC} = \sqrt{(6 - (-1))^2 + (-2 - (-1))^2} = \sqrt{(6 + 1)^2 + (-2 + 1)^2} = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \approx 7.07
\]

Como \( d_{AB} = d_{BC} = 5 \), podemos concluir que el triángulo es isósceles, ya que dos de sus lados son de igual longitud.

### Método 2: Uso de vectores

Otra manera de demostrar que el triángulo es isósceles es calculando los vectores entre los puntos y luego comparando sus magnitudes.

#### 1. Vector \( \overrightarrow{AB} \):

\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-1), 2 - (-1)) = (4, 3)
\]

La magnitud del vector \( \overrightarrow{AB} \) es:

\[
|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
\]

#### 2. Vector \( \overrightarrow{BC} \):

\[
\overrightarrow{BC} = C - B = (6 - 3, -2 - 2) = (3, -4)
\]

La magnitud del vector \( \overrightarrow{BC} \) es:

\[
|\overrightarrow{BC}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

#### 3. Vector \( \overrightarrow{AC} \):

\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (6 - (-1), -2 - (-1)) = (7, -1)
\]

La magnitud del vector \( \overrightarrow{AC} \) es:

\[
|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{7^2 + (-1)^2} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} \approx 7.07
\]

Dado que \( |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = 5 \), también concluimos que el triángulo es isósceles.

### Conclusión
Hemos demostrado que los puntos \( A \), \( B \) y \( C \) forman un triángulo isósceles por dos métodos diferentes: calculando las distancias entre los puntos y comparando las magnitudes de los vectores.

---

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos métodos o tienes alguna otra pregunta?

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se puede comprobar si un triángulo es equilátero con las coordenadas de los vértices?
2. ¿Qué sucede si las tres distancias entre los vértices son diferentes?
3. ¿Cómo calcular el área de este triángulo conociendo las coordenadas de sus vértices?
4. ¿Qué diferencia hay entre un triángulo isósceles y un triángulo escaleno?
5. ¿Cómo se determina el ángulo entre dos vectores en un triángulo?

#### Tip: 
Para verificar la simetría de un triángulo isósceles, también puedes comprobar si hay dos ángulos iguales utilizando las pendientes de los lados.

Descubre cómo demostrar que los puntos A(-1, -1), B(3, 2) y C(6, -2) forman un triángulo isósceles usando cálculo de distancias y vectores. Solución detallada con fórmulas de distancia y magnitudes de vectores.

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