n<√x<n+3を満たす整数xの個数を、自然数nを使った最も簡単な式で表せ。

不等式 \( n < \sqrt{x} < n+3 \) を満たす整数 \( x \) の個数を、自然数 \( n \) を使って表す方法を考えます。

まず、不等式を整理します。

### 不等式の変形

両辺を二乗して、不等式を次のように書き換えます。

\[
n^2 < x < (n+3)^2
\]

これにより、\( x \) の範囲は次のようになります。

\[
n^2 < x < n^2 + 6n + 9
\]

この範囲内の整数 \( x \) の個数は、上限 \( (n+3)^2 \) と下限 \( n^2 \) の差に1を引いたものです。

### 範囲内の整数の個数

範囲内の整数の個数は、以下のように計算できます。

\[
xの個数 = (n+3)^2 - n^2 = (n^2 + 6n + 9) - n^2 = 6n + 9
\]

したがって、求める整数 \( x \) の個数は \( 6n + 8 \) となります。

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この問題に関する詳細や質問はありますか？次に取り組む関連質問として、以下のような問題を考えることができます。

1. 自然数 \( n \) が特定の値（例えば \( n = 2 \)）のとき、具体的な整数 \( x \) の個数を求める。
2. 不等式 \( n < \sqrt{x} < n+3 \) を満たす最小の \( x \) を求める方法を説明する。
3. 自然数 \( n \) を用いて、別の形で不等式 \( n < \sqrt{x} < n+3 \) を表現する方法を探る。
4. 不等式の左側または右側の範囲を変えると、整数 \( x \) の個数がどう変わるかを調べる。
5. 不等式 \( n < \sqrt{x} < n+3 \) を満たす \( x \) の値の具体的なリストを作成する。

**Tip:** 数学の不等式を扱うとき、両辺を二乗することでルートを取り除くテクニックは非常に有効です。

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