Un automóvil con ruedas de 30 cm de diámetro acelera de 0 a 30 m/s en 5 s. Calcula: a) La aceleración angular de sus ruedas. b) La aceleración lineal del coche.  c) Las vueltas que da la rueda mientras acelera. 

Para resolver este problema, necesitamos utilizar conceptos de cinemática tanto lineal como angular. Dado que el automóvil acelera de 0 a 30 m/s en 5 segundos, calcularemos primero la aceleración lineal, y luego relacionaremos esto con la aceleración angular.

### Datos:
- Diámetro de las ruedas: \( d = 30 \, \text{cm} = 0.30 \, \text{m} \)
- Radio de las ruedas: \( r = \frac{d}{2} = 0.15 \, \text{m} \)
- Velocidad final del automóvil: \( v_f = 30 \, \text{m/s} \)
- Velocidad inicial: \( v_i = 0 \, \text{m/s} \)
- Tiempo: \( t = 5 \, \text{s} \)

### a) Aceleración angular de las ruedas (\(\alpha\))

Sabemos que la aceleración angular \(\alpha\) está relacionada con la aceleración lineal \(a\) mediante la fórmula:
\[
a = r \alpha
\]

Primero calculamos la aceleración lineal \(a\).

### b) Aceleración lineal del coche (\(a\))

La aceleración lineal del coche se puede calcular con la fórmula de la aceleración:
\[
a = \frac{v_f - v_i}{t}
\]
Sustituyendo los valores:
\[
a = \frac{30 \, \text{m/s} - 0}{5 \, \text{s}} = 6 \, \text{m/s}^2
\]

Ahora usamos esta aceleración lineal para encontrar la aceleración angular.

\[
\alpha = \frac{a}{r} = \frac{6 \, \text{m/s}^2}{0.15 \, \text{m}} = 40 \, \text{rad/s}^2
\]

### c) Número de vueltas que da la rueda

Primero, debemos encontrar la velocidad angular final (\(\omega_f\)) usando la relación entre la velocidad lineal y la angular:
\[
v_f = r \omega_f
\]
\[
\omega_f = \frac{v_f}{r} = \frac{30 \, \text{m/s}}{0.15 \, \text{m}} = 200 \, \text{rad/s}
\]

Ahora usamos la ecuación de movimiento angular:
\[
\theta = \omega_i t + \frac{1}{2} \alpha t^2
\]
Donde \(\omega_i = 0\) porque parte del reposo:
\[
\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2 = \frac{1}{2} \times 40 \, \text{rad/s}^2 \times (5 \, \text{s})^2 = 500 \, \text{rad}
\]

Finalmente, para convertir los radianes a vueltas completas, usamos la relación \(2\pi\) radianes por vuelta:
\[
\text{Vueltas} = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{500}{2\pi} \approx 79.58 \, \text{vueltas}
\]

### Resumen:

a) La aceleración angular es \( 40 \, \text{rad/s}^2 \).

b) La aceleración lineal del coche es \( 6 \, \text{m/s}^2 \).

c) La rueda da aproximadamente \( 79.58 \, \text{vueltas} \) mientras el coche acelera.

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¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo afecta el diámetro de la rueda a la aceleración angular?
2. ¿Qué pasaría si el automóvil alcanzara una velocidad mayor en el mismo tiempo?
3. ¿Cómo se relaciona la aceleración angular con la velocidad angular?
4. ¿Por qué necesitamos convertir radianes a vueltas completas?
5. ¿Cómo se puede medir la aceleración angular en la vida real?

**Tip:** Recuerda que el radio de una rueda juega un papel crucial al convertir entre cantidades angulares y lineales.

Un automóvil con ruedas de 30 cm de diámetro acelera de 0 a 30 m/s en 5 s. Calcula: a) La aceleración angular de sus ruedas. b) La aceleración lineal del coche.  c) Las vueltas que da la rueda mientras acelera.

Resuelve el problema de un automóvil que acelera de 0 a 30 m/s en 5 segundos. Calcula la aceleración angular de las ruedas, la aceleración lineal del coche y el número de vueltas que da la rueda. Incluye datos clave como el diámetro de las ruedas y las fórmulas de cinemática.

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