Untuk menyelesaikan masalah ini, mari kita pecah menjadi beberapa langkah:

1. Menentukan koordinat titik $P$ pada garis $AB$

Diberikan bahwa $\frac{AP}{PB} = \frac{3}{2}$. Jika kita menggunakan rumus perbandingan titik bagi, koordinat titik $P(x_P, y_P, z_P)$ pada garis $AB$ dapat ditentukan sebagai berikut:

$P = \left(\frac{m \cdot x_B + n \cdot x_A}{m+n}, \frac{m \cdot y_B + n \cdot y_A}{m+n}, \frac{m \cdot z_B + n \cdot z_A}{m+n}\right)$

dengan $m = 3$ dan $n = 2$, serta $A(4, -1, -2)$ dan $B(-6, 4, 3)$.

$x_P = \frac{3(-6) + 2(4)}{5} = \frac{-18 + 8}{5} = \frac{-10}{5} = -2$

$y_P = \frac{3(4) + 2(-1)}{5} = \frac{12 - 2}{5} = \frac{10}{5} = 2$

$z_P = \frac{3(3) + 2(-2)}{5} = \frac{9 - 4}{5} = \frac{5}{5} = 1$

Jadi, koordinat $P$ adalah $(-2, 2, 1)$.

2. Menentukan vektor $PC$

Vektor $PC$ adalah vektor dari $P$ ke $C$, di mana $P(-2, 2, 1)$ dan $C(2, 3, 5)$.

$\textbf{PC} = (x_C - x_P, y_C - y_P, z_C - z_P) = (2 - (-2), 3 - 2, 5 - 1) = (4, 1, 4)$

3. Menentukan vektor $BC$

Vektor $BC$ adalah vektor dari $B$ ke $C$, di mana $B(-6, 4, 3)$ dan $C(2, 3, 5)$.

$\textbf{BC} = (x_C - x_B, y_C - y_B, z_C - z_B) = (2 - (-6), 3 - 4, 5 - 3) = (8, -1, 2)$

4. Menentukan proyeksi vektor $PC$ pada $BC$

Proyeksi vektor $\textbf{PC}$ pada $\textbf{BC}$ dapat dihitung menggunakan rumus proyeksi:

$\text{Proyeksi} = \frac{\textbf{PC} \cdot \textbf{BC}}{\|\textbf{BC}\|} \times \frac{\textbf{BC}}{\|\textbf{BC}\|}$

Langkah pertama adalah menghitung dot product $\textbf{PC} \cdot \textbf{BC}$:

$\textbf{PC} \cdot \textbf{BC} = (4 \times 8) + (1 \times -1) + (4 \times 2) = 32 - 1 + 8 = 39$

Kemudian, menghitung panjang $\|\textbf{BC}\|$:

$\|\textbf{BC}\| = \sqrt{(8)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{64 + 1 + 4} = \sqrt{69}$

5. Panjang proyeksi vektor $PC$ pada $BC$

Panjang proyeksi $PC$ pada $BC$ adalah:

$\text{Panjang Proyeksi} = \frac{39}{\sqrt{69}}$

Itu adalah jawaban akhir.

Jika ada yang ingin didetailkan, beri tahu saya. Berikut lima pertanyaan terkait yang mungkin menarik untuk dibahas:

1. Bagaimana cara menentukan titik bagi untuk rasio yang berbeda?
2. Apa yang dimaksud dengan proyeksi vektor?
3. Bagaimana cara menghitung produk titik antara dua vektor?
4. Apa saja aplikasi proyeksi vektor dalam fisika atau teknik?
5. Bagaimana cara menghitung panjang vektor dalam ruang tiga dimensi?

Tip: Saat mengerjakan proyeksi vektor, selalu pastikan Anda memahami arah vektor awal dan vektor proyeksi untuk menghindari kesalahan tanda.