Untuk menyelesaikan masalah ini, kita akan melalui beberapa langkah:

Langkah 1: Menentukan Titik P pada Vektor AB

Diberikan bahwa $\frac{AP}{PB} = \frac{3}{2}$, kita bisa menentukan koordinat titik $P(x, y, z)$ yang terletak pada vektor $AB$. Misalkan $\lambda$ adalah skalar yang digunakan untuk menemukan titik bagi pada vektor $AB$:

$P(x, y, z) = \frac{2A + 3B}{2 + 3}$

Substitusi koordinat $A(4, -1, -2)$ dan $B(-6, 4, 3)$:

$P(x, y, z) = \frac{2(4, -1, -2) + 3(-6, 4, 3)}{5}$

$P(x, y, z) = \frac{(8, -2, -4) + (-18, 12, 9)}{5}$

$P(x, y, z) = \frac{(-10, 10, 5)}{5} = (-2, 2, 1)$

Jadi, koordinat titik $P$ adalah $(-2, 2, 1)$.

Langkah 2: Menentukan Vektor $PC$ dan $BC$

Vektor $PC$ adalah vektor dari titik $P(-2, 2, 1)$ ke titik $C(2, 3, 5)$:

$\text{Vektor } PC = C - P = (2 - (-2), 3 - 2, 5 - 1) = (4, 1, 4)$

Vektor $BC$ adalah vektor dari titik $B(-6, 4, 3)$ ke titik $C(2, 3, 5)$:

$\text{Vektor } BC = C - B = (2 - (-6), 3 - 4, 5 - 3) = (8, -1, 2)$

Langkah 3: Menentukan Proyeksi Vektor $PC$ pada $BC$

Proyeksi vektor $PC$ pada vektor $BC$ diberikan oleh rumus:

$\text{Proyeksi } \mathbf{PC} \text{ pada } \mathbf{BC} = \frac{\mathbf{PC} \cdot \mathbf{BC}}{|\mathbf{BC}|}$

1. Dot Product (Produk Skalar):

$\mathbf{PC} \cdot \mathbf{BC} = (4)(8) + (1)(-1) + (4)(2) = 32 - 1 + 8 = 39$

2. Magnitude (Panjang) Vektor $BC$:

$|\mathbf{BC}| = \sqrt{(8)^2 + (-1)^2 + (2)^2} = \sqrt{64 + 1 + 4} = \sqrt{69}$

3. Proyeksi:

$\text{Panjang proyeksi } = \frac{39}{\sqrt{69}}$

Hasil ini adalah panjang proyeksi vektor $PC$ pada vektor $BC$, dalam bentuk yang paling sederhana adalah:

$\frac{39}{\sqrt{69}} \approx 4.69$

Apakah ada pertanyaan atau membutuhkan penjelasan lebih lanjut?
Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:

1. Bagaimana cara menentukan titik bagi pada suatu segmen garis?
2. Apa perbedaan antara produk skalar dan vektor?
3. Mengapa kita menggunakan proyeksi vektor dalam analisis geometri?
4. Bagaimana menentukan arah suatu vektor?
5. Bagaimana cara menentukan vektor unit dari suatu vektor?

Tip: Saat menghitung proyeksi, pastikan Anda menggunakan rumus dot product yang benar dan menghitung magnitudenya dengan tepat untuk mendapatkan hasil yang akurat.