Diketahui titik $A(3, -1, 0)$, $B(2, 4, 1)$, dan $C(1, 0, 5)$. Kita diminta mencari panjang proyeksi vektor $\vec{AB}$ pada vektor $\vec{BC}$.

Langkah-langkah:

1. Menentukan Vektor $\vec{AB}$ dan $\vec{BC}$:

   • Vektor $\vec{AB} = B - A = (2 - 3, 4 - (-1), 1 - 0) = (-1, 5, 1)$.
   • Vektor $\vec{BC} = C - B = (1 - 2, 0 - 4, 5 - 1) = (-1, -4, 4)$.

2. Menghitung Dot Product $\vec{AB} \cdot \vec{BC}$: $\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-1)(-1) + (5)(-4) + (1)(4) = 1 - 20 + 4 = -15.$

3. Menghitung Panjang Vektor $\vec{BC}$: $|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 16 + 16} = \sqrt{33}.$

4. Menghitung Panjang Proyeksi $\vec{AB}$ pada $\vec{BC}$: Panjang proyeksi $\vec{AB}$ pada $\vec{BC}$ adalah $\text{proj}_{\vec{BC}} \vec{AB} = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BC}|} = \frac{-15}{\sqrt{33}}.$

Jadi, panjang proyeksi vektor $\vec{AB}$ pada vektor $\vec{BC}$ adalah $\frac{-15}{\sqrt{33}}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih rinci atau ada pertanyaan?

---

Soal Terkait:

1. Bagaimana cara menentukan sudut antara dua vektor?
2. Apa definisi dari proyeksi vektor?
3. Bagaimana menentukan jarak antara dua titik dalam ruang 3 dimensi?
4. Apa langkah-langkah untuk menghitung perkalian silang dua vektor?
5. Bagaimana menentukan panjang dari vektor hasil perkalian silang?

Tip: Proyeksi vektor membantu kita memahami komponen-komponen dari suatu vektor dalam arah tertentu yang diinginkan.