АВСD- параллелограмм. А(-2;3;1); В(-1;1;4), D(0;4;0). Найдите координаты вершины С и проекцию вектора ВС на направление вектора CD.



Дано, что \( ABCD \) — параллелограмм. Известны координаты трёх точек: \( A(-2; 3; 1) \), \( B(-1; 1; 4) \), \( D(0; 4; 0) \). Нужно найти координаты вершины \( C \), а также проекцию вектора \( BC \) на направление вектора \( CD \).

### 1. Поиск координат точки \( C \)
Для параллелограмма выполняется правило диагоналей: диагонали пересекаются и делятся пополам. Это означает, что вектор \( AB \) равен вектору \( CD \), и, соответственно:

\[
 \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}
\]

Тогда:

\[
 \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}
\]

Мы можем выразить \( C \) через известные координаты:

\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (-1 - (-2); 1 - 3; 4 - 1) = (1; -2; 3)
\]
\[
 \overrightarrow{CD} = (C_x - 0; C_y - 4; C_z - 0)
\]

Поскольку \( \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \), то:

\[
C_x = 1,\ C_y = 2,\ C_z = 3
\]

Следовательно, координаты точки \( C \) равны:

\[
C(1; 2; 3)
\]

### 2. Проекция вектора \( BC \) на направление вектора \( CD \)

Для нахождения проекции вектора \( BC \) на направление вектора \( CD \), сначала найдём сами векторы:

\[
\overrightarrow{BC} = (C_x - B_x; C_y - B_y; C_z - B_z) = (1 - (-1); 2 - 1; 3 - 4) = (2; 1; -1)
\]

\[
\overrightarrow{CD} = (D_x - C_x; D_y - C_y; D_z - C_z) = (0 - 1; 4 - 2; 0 - 3) = (-1; 2; -3)
\]

Проекция вектора \( \overrightarrow{BC} \) на вектор \( \overrightarrow{CD} \) вычисляется по формуле:

\[
\text{proj}_{\overrightarrow{CD}}(\overrightarrow{BC}) = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|^2} \cdot \overrightarrow{CD}
\]

Найдем скалярное произведение \( \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} \):

\[
\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) = -2 + 2 + 3 = 3
\]

Теперь найдём квадрат длины вектора \( \overrightarrow{CD} \):

\[
|\overrightarrow{CD}|^2 = (-1)^2 + 2^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14
\]

Таким образом, проекция вектора \( BC \) на направление \( CD \):

\[
\text{proj}_{\overrightarrow{CD}}(\overrightarrow{BC}) = \frac{3}{14} \cdot (-1; 2; -3) = \left( \frac{-3}{14}; \frac{6}{14}; \frac{-9}{14} \right)
\]

Итак, проекция вектора \( BC \) на направление вектора \( CD \) равна:

\[
\left( \frac{-3}{14}; \frac{6}{14}; \frac{-9}{14} \right)
\]

### Результат:
- Координаты вершины \( C \): \( C(1; 2; 3) \)
- Проекция вектора \( BC \) на направление вектора \( CD \): \( \left( \frac{-3}{14}; \frac{6}{14}; \frac{-9}{14} \right) \)

Если у вас есть вопросы или хотите больше деталей, дайте знать!

#### Вопросы для дальнейшего изучения:
1. Как найти длину вектора по его координатам?
2. Какие свойства диагоналей характерны для параллелограмма?
3. Что такое скалярное произведение векторов, и где оно применяется?
4. Как вычислить угол между двумя векторами в пространстве?
5. Как найти объём параллелепипеда с известными векторами сторон?

#### Совет:
При решении задач с векторами всегда проверяйте правильность вычислений скалярных и векторных произведений, чтобы избежать ошибок в финальных результатах.

АВСD- параллелограмм. А(-2;3;1); В(-1;1;4), D(0;4;0). Найдите координаты вершины С и проекцию вектора ВС на направление вектора CD.

Solve the problem of finding the coordinates of vertex C in a parallelogram ABCD with given vertices and calculate the projection of vector BC on vector CD. This solution covers vector algebra and the geometric properties of parallelograms, suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation