Дано, что $ABCD$ — параллелограмм. Известны координаты трёх точек: $A(-2; 3; 1)$, $B(-1; 1; 4)$, $D(0; 4; 0)$. Нужно найти координаты вершины $C$, а также проекцию вектора $BC$ на направление вектора $CD$.

1. Поиск координат точки $C$

Для параллелограмма выполняется правило диагоналей: диагонали пересекаются и делятся пополам. Это означает, что вектор $AB$ равен вектору $CD$, и, соответственно:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$

Тогда:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{D}$

Мы можем выразить $C$ через известные координаты:

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} = (-1 - (-2); 1 - 3; 4 - 1) = (1; -2; 3)$ $\overrightarrow{CD} = (C_x - 0; C_y - 4; C_z - 0)$

Поскольку $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$, то:

$C_x = 1,\ C_y = 2,\ C_z = 3$

Следовательно, координаты точки $C$ равны:

$C(1; 2; 3)$

2. Проекция вектора $BC$ на направление вектора $CD$

Для нахождения проекции вектора $BC$ на направление вектора $CD$, сначала найдём сами векторы:

$\overrightarrow{BC} = (C_x - B_x; C_y - B_y; C_z - B_z) = (1 - (-1); 2 - 1; 3 - 4) = (2; 1; -1)$

$\overrightarrow{CD} = (D_x - C_x; D_y - C_y; D_z - C_z) = (0 - 1; 4 - 2; 0 - 3) = (-1; 2; -3)$

Проекция вектора $\overrightarrow{BC}$ на вектор $\overrightarrow{CD}$ вычисляется по формуле:

$\text{proj}_{\overrightarrow{CD}}(\overrightarrow{BC}) = \frac{\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{CD}|^2} \cdot \overrightarrow{CD}$

Найдем скалярное произведение $\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD}$:

$\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CD} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + (-1) \cdot (-3) = -2 + 2 + 3 = 3$

Теперь найдём квадрат длины вектора $\overrightarrow{CD}$:

$|\overrightarrow{CD}|^2 = (-1)^2 + 2^2 + (-3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14$

Таким образом, проекция вектора $BC$ на направление $CD$:

$\text{proj}_{\overrightarrow{CD}}(\overrightarrow{BC}) = \frac{3}{14} \cdot (-1; 2; -3) = \left( \frac{-3}{14}; \frac{6}{14}; \frac{-9}{14} \right)$

Итак, проекция вектора $BC$ на направление вектора $CD$ равна:

$\left( \frac{-3}{14}; \frac{6}{14}; \frac{-9}{14} \right)$

Результат:

• Координаты вершины $C$: $C(1; 2; 3)$
• Проекция вектора $BC$ на направление вектора $CD$: $\left( \frac{-3}{14}; \frac{6}{14}; \frac{-9}{14} \right)$

Если у вас есть вопросы или хотите больше деталей, дайте знать!

Вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как найти длину вектора по его координатам?
2. Какие свойства диагоналей характерны для параллелограмма?
3. Что такое скалярное произведение векторов, и где оно применяется?
4. Как вычислить угол между двумя векторами в пространстве?
5. Как найти объём параллелепипеда с известными векторами сторон?

Совет:

При решении задач с векторами всегда проверяйте правильность вычислений скалярных и векторных произведений, чтобы избежать ошибок в финальных результатах.