Se lanza una moneda 9 veces calcular la probabilidad de qué salgan exactamente 5 caras

Para calcular la probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 9 lanzamientos de una moneda, utilizamos la distribución binomial. La fórmula para la probabilidad binomial es:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

donde:
- \( n \) es el número total de ensayos (en este caso, 9 lanzamientos),
- \( k \) es el número de éxitos deseados (en este caso, 5 caras),
- \( p \) es la probabilidad de éxito en un ensayo (en este caso, 0.5, ya que la moneda es justa),
- \( \binom{n}{k} \) es el coeficiente binomial, que se calcula como \( \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Primero, calculamos el coeficiente binomial:

\[ \binom{9}{5} = \frac{9!}{5!(9-5)!} = \frac{9!}{5!4!} \]

Calculamos los factoriales:

\[ 9! = 362880, \quad 5! = 120, \quad 4! = 24 \]

Ahora sustituimos:

\[ \binom{9}{5} = \frac{362880}{120 \cdot 24} = \frac{362880}{2880} = 126 \]

Luego, calculamos la probabilidad:

\[ P(X = 5) = \binom{9}{5} (0.5)^5 (1-0.5)^{9-5} \]
\[ P(X = 5) = 126 \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^4 \]
\[ P(X = 5) = 126 \cdot (0.5)^9 \]
\[ P(X = 5) = 126 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^9 \]
\[ P(X = 5) = 126 \cdot \frac{1}{512} \]
\[ P(X = 5) = \frac{126}{512} \]

Simplificamos la fracción:

\[ P(X = 5) = \frac{63}{256} \]

Por lo tanto, la probabilidad de obtener exactamente 5 caras en 9 lanzamientos de una moneda es \( \frac{63}{256} \), lo cual es aproximadamente 0.2461 (o 24.61%).

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### Tip:

Para facilitar los cálculos, especialmente con valores grandes, puedes usar una calculadora científica o software de matemáticas como Wolfram Alpha o MATLAB.

Learn how to calculate the probability of exactly 5 heads in 9 coin flips using the binomial distribution formula. Step-by-step solution with detailed calculations and explanations. Suitable for advanced high school students.

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